Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính nguyên hàm**:
\[
F(x) = \int f(x) \, dx = \int (\sin x + \cos x) \, dx
\]
Tính từng phần:
\[
\int \sin x \, dx = -\cos x + C_1
\]
\[
\int \cos x \, dx = \sin x + C_2
\]
Kết hợp lại, ta có:
\[
F(x) = -\cos x + \sin x + C
\]

2. **Sử dụng điều kiện \( F(2) = \frac{3}{2} \)** để tìm hằng số \( C \):
\[
F(2) = -\cos(2) + \sin(2) + C = \frac{3}{2}
\]
Tính giá trị của \( \sin(2) \) và \( \cos(2) \):
\[
-\cos(2) + \sin(2) + C = \frac{3}{2}
\]
Giải phương trình này để tìm \( C \):
\[
C = \frac{3}{2} + \cos(2) - \sin(2)
\]

3. **Viết đầy đủ nguyên hàm**:
Cuối cùng, nguyên hàm \( F(x) \) là:
\[
F(x) = -\cos x + \sin x + \left( \frac{3}{2} + \cos(2) - \sin(2) \right)
\]

Kết quả là:
\[
F(x) = -\cos x + \sin x + \frac{3}{2} + \cos(2) - \sin(2)
\]
Đây là nguyên hàm mà bạn cần tìm!