a) Hình EFGH là hình thoi. Để chứng minh điều này, ta có thể kiểm tra các yếu tố sau:

- E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.
- Vì E, F, G, H đều là trung điểm, nên ta có:
- \( E \) có tọa độ \((\frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2})\)
- \( F \) có tọa độ \((\frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2})\)
- \( G \) có tọa độ \((\frac{C_x + D_x}{2}, \frac{C_y + D_y}{2})\)
- \( H \) có tọa độ \((\frac{D_x + A_x}{2}, \frac{D_y + A_y}{2})\)

- Hình chữ nhật có các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, các đoạn EF, FG, GH, và HE đều có chiều dài bằng nhau và luôn vuông góc với nhau do hình chữ nhật có hai cặp cạnh vuông góc. Điều này dẫn đến việc hình EFGH sẽ có các cạnh đối diện song song và chiều dài bằng nhau, tạo thành một hình thoi.

b) Để chứng minh AC, BD, EG, FH đồng quy, ta sẽ sử dụng tọa độ và tính chất của các đường chéo.

Giả sử hình chữ nhật ABCD có tọa độ:

- \( A (0, 0) \)
- \( B (a, 0) \)
- \( C (a, b) \)
- \( D (0, b) \)

Từ đó, ta có tọa độ các điểm trung điểm:

- \( E \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
- \( F \left( \frac{a + a}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = \left( a, \frac{b}{2} \right) \)
- \( G \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
- \( H \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{b + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{b}{2} \right) \)

Bây giờ, ta xét các đường chéo:

1. Đường chéo AC sẽ đi qua các điểm A(0, 0) và C(a, b).
- Phương trình đường thẳng AC là: \( y = \frac{b}{a} x \)

2. Đường chéo BD sẽ đi qua B(a, 0) và D(0, b).
- Phương trình đường thẳng BD là: \( y = -\frac{b}{a} x + b \)

3. Đường EG sẽ đi qua E( \(\frac{a}{2}, 0\) ) và G( \(\frac{a}{2}, b\) )
- Phương trình đường thẳng EG là: x = \(\frac{a}{2}\)

4. Đường FH sẽ đi qua F( \(a, \frac{b}{2}\) ) và H( \(0, \frac{b}{2}\) )
- Phương trình đường thẳng FH là: y = \(\frac{b}{2}\)

Giờ, ta tính giao điểm của các đường thẳng:

- Giao điểm giữa AC và FH: Thay \(y = \frac{b}{2}\) vào phương trình của AC:

\(\frac{b}{2} = \frac{b}{a}x \Rightarrow x = \frac{a}{2}\)

Như vậy, giao điểm của AC và FH là \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\).

- Giao điểm giữa BD và EG: Thay x = \(\frac{a}{2}\) vào phương trình của BD:

\(y = -\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{2} + b = \frac{b}{2}\)

Vậy nên, giao điểm giữa BD và EG cũng chính là \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\).

Do đó, các đường thẳng AC, BD, EG và FH đều đồng quy tại điểm \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\).