Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, đồng thời có một góc vuông.

### Phần a: Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật

1. **Định nghĩa các điểm:**
- A: đỉnh của tam giác vuông ABC.
- B: chân của đường cao AH, vuông góc với AC.
- C: đỉnh còn lại của tam giác.
- H: điểm trên AC sao cho AH vuông góc với AC.
- M: điểm trên AB sao cho HM vuông góc với AB.
- N: điểm trên AC sao cho HN vuông góc với AC.

2. **Xét tính vuông góc:**
- Theo định nghĩa, HM vuông góc với AB (HM ⊥ AB).
- HN vuông góc với AC (HN ⊥ AC).
- Do AH là đường cao, ta có AH vuông góc với BC, mà BC là cạnh đối diện với AC.

3. **Xét các góc trong tứ giác AMHN:**
- Xét góc AMH: từ điểm H, tuyến đường thẳng HM vuông góc với AB, suy ra AMH là góc vuông.
- Xét góc ANH: từ điểm H, tuyến đường thẳng HN vuông góc với AC, suy ra ANH cũng là góc vuông.

4. **Suy luận về tứ giác AMHN:**
- Có hai góc vuông (AMH và ANH), suy ra AMHN là tứ giác có ít nhất hai góc vuông.
- Hơn nữa, nếu hai góc đối diện trong một tứ giác là góc vuông, thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

Do đó, tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh tứ giác AHIC là hình bình hành và M, H, I thẳng hàng

1. **Chứng minh tứ giác AHIC là hình bình hành:**
- E là trung điểm của đoạn HC.
- I được chọn sao cho E là trung điểm của đoạn AI.
- Do E là trung điểm của HC, nên HE = EC.
- Do E là trung điểm của AI, nên AE = EI.

2. **So sánh cặp cạnh đối diện:**
- Xét hai cạnh AH và CI:
- AH = AH (cạnh chung).
- AE = EI (cạnh đối diện).
- HE = EC (cạnh đối diện).
- Suy ra tứ giác AHIC có cặp cạnh đối diện bằng nhau.

3. **Tính chất hình bình hành:**
- Tứ giác có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau thì đó là hình bình hành.

4. **Chứng minh M, H, I thẳng hàng:**
- Đường thẳng đi qua các điểm M, H là đường nối giữa hai cạnh và điểm I nằm trên đoạn nối AI.
- Do AI có điểm E là trung điểm, nên M, H, I phải nằm cùng trên đường thẳng.

Kết luận, ta chứng minh thành công rằng tứ giác AHIC là hình bình hành và M, H, I là các điểm thẳng hàng.