Để chứng minh rằng các biểu thức \( a \), \( a + 5b \), \( b \), \( a + 17b \), và \( a - 13b \) chia hết cho 6 khi \( a - b \) chia hết cho 6, chúng ta sẽ sử dụng tính chất chia hết.

Giả sử rằng \( a - b = 6k \) với \( k \) là một số nguyên. Từ đó, ta có thể viết lại \( a \) theo \( b \):

\[
a = b + 6k
\]

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng biểu thức:

1. **Biểu thức \( a \)**:
\[
a = b + 6k
\]
Rõ ràng \( a \) không nhất thiết chia hết cho 6 nếu chỉ dựa vào điều kiện \( a - b \) chia hết cho 6. Do đó, không thể khẳng định \( a \) chia hết cho 6.

2. **Biểu thức \( a + 5b \)**:
\[
a + 5b = (b + 6k) + 5b = 6b + 6k = 6(b + k)
\]
Biểu thức này chia hết cho 6.

3. **Biểu thức \( b \)**:
Biểu thức \( b \) không thể kết luận là chia hết cho 6 từ điều kiện trên, vì \( b \) có thể không chia hết cho 6.

4. **Biểu thức \( a + 17b \)**:
\[
a + 17b = (b + 6k) + 17b = 18b + 6k = 6(3b + k)
\]
Biểu thức này chia hết cho 6.

5. **Biểu thức \( a - 13b \)**:
\[
a - 13b = (b + 6k) - 13b = -12b + 6k = 6(-2b + k)
\]
Biểu thức này cũng chia hết cho 6.

Tóm lại, từ các tính toán trên, chúng ta thấy rằng:
- \( a + 5b \), \( a + 17b \), và \( a - 13b \) đều chia hết cho 6.
- Không thể kết luận rằng \( a \) hoặc \( b \) chia hết cho 6 chỉ dựa vào điều kiện \( a - b \) chia hết cho 6.

Vậy các biểu thức \( a + 5b \), \( a + 17b \), và \( a - 13b \) chia hết cho 6, còn \( a \) và \( b \) không nhất thiết chia hết cho 6.