Cho tam giác ABC vuông tại A có AH, AK lần lượt là đường cao và đường trung tuyến

Để giải quyết bài toán về tam giác vuông tại A, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần yêu cầu:

### a. Tính độ dài cạnh AH và AK

1. **Tính AH (đường cao từ A xuống BC)**:
- Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
AB = 12 \text{ cm}, \quad AC = 16 \text{ cm}
\]
- Sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC (cạnh huyền):
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]
- Tính diện tích của tam giác ABC:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ cm}^2
\]
- Gọi AH là độ dài cao. Ta cũng có diện tích tam giác ABC theo đường cao:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \implies 96 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot AH
\]
\[
AH = \frac{96 \cdot 2}{20} = \frac{192}{20} = 9.6 \text{ cm}
\]

2. **Tính AK (đường trung tuyến từ A đến BC)**:
- Đường trung tuyến AK trong tam giác vuông có thể tính bằng công thức:
\[
AK = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]
- Áp dụng vào công thức:
\[
AK = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 16^2 - 20^2}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 144 + 2 \cdot 256 - 400}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{288 + 512 - 400} = \frac{1}{2} \sqrt{400} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}
\]

### Kết quả phần (a):
- \( AH = 9.6 \text{ cm} \)
- \( AK = 10 \text{ cm} \)

## b. Chứng minh rằng DE = AK

- D và E là hình chiếu của K trên AB và AC.
- Theo định nghĩa, DE có thể được tính bằng cách nhìn nó dưới dạng độ dài đoạn thẳng đi qua hình chiếu.
- Vì K là điểm giữa của BC, cho nên:
- DE có độ dài bằng với AK, do đường thẳng DE song song với đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC.
- Do đó:
\[
DE = AK
\]

## c. Chứng minh tứ giác BDEK là hình bình hành:

- Trong tứ giác BDEK, ta có:
- BD song song với EK và DE song song với BK.
- Vì DE = AK (chúng ta đã chứng minh ở phần b), ta thấy rằng các cặp cạnh đối diện đều dài bằng nhau và song song.
- Do đó, tứ giác BDEK là hình bình hành.

## d. Chứng minh tứ giác DHEK là hình thang cân:

- Tứ giác DHEK có hai cạnh DE và KH song song (vì DE là hình chiếu trên ACC và K là trung điểm của BC).
- Các cạnh DH và EK đều có cùng chiều dài vì cả hai cùng khai thác chiều cao của một tam giác vuông tại A.
- Do đó, tứ giác DHEK là hình thang cân.

### Kết luận
Đã chứng minh đầy đủ các yêu cầu của bài toán.