Cho \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) = \frac{1}{2x-1}, x \neq \frac{1}{2} \) và \( F(1) = 0 \). Tính \( F(5) \)

Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) = \frac{1}{2x-1} \), chúng ta sẽ thực hiện tích phân:

\[
F(x) = \int f(x) \, dx = \int \frac{1}{2x-1} \, dx
\]

Áp dụng phép đổi biến. Đặt \( u = 2x - 1 \), thì \( \frac{du}{dx} = 2 \), hay \( dx = \frac{du}{2} \). Thay vào biểu thức tích phân:

\[
F(x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x-1| + C
\]

Bây giờ, chúng ta sử dụng điều kiện \( F(1) = 0 \) để tìm hằng số \( C \):

\[
F(1) = \frac{1}{2} \ln |2 \cdot 1 - 1| + C = \frac{1}{2} \ln |1| + C = C
\]
Do đó, \( C = 0 \).

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

\[
F(x) = \frac{1}{2} \ln |2x-1|
\]

Bây giờ, để tính \( F(5) \):

\[
F(5) = \frac{1}{2} \ln |2 \cdot 5 - 1| = \frac{1}{2} \ln |10 - 1| = \frac{1}{2} \ln 9
\]

Ta có:

\[
F(5) = \frac{1}{2} \ln 9 = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln 3 = \ln 3
\]

Vậy \( F(5) = \ln 3 \).