Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 4x^2 - 3x + 1 \), ta sẽ sử dụng công thức tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm bậc hai, có dạng \( ax^2 + bx + c \).

Biểu thức của chúng ta có các hệ số:
- \( a = 4 \)
- \( b = -3 \)
- \( c = 1 \)

Giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai xảy ra tại \( x = -\frac{b}{2a} \).

Thay các giá trị vào công thức:
\[
x = -\frac{-3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}
\]

Tiếp theo, ta thay giá trị \( x \) này vào biểu thức để tìm giá trị nhỏ nhất:
\[
f\left(\frac{3}{8}\right) = 4\left(\frac{3}{8}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{8}\right) + 1
\]

Tính từng phần:
\[
\left(\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{64}
\]
\[
4\left(\frac{3}{8}\right)^2 = 4 \cdot \frac{9}{64} = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}
\]
\[
-3\left(\frac{3}{8}\right) = -\frac{9}{8} = -\frac{18}{16}
\]
\[
f\left(\frac{3}{8}\right) = \frac{9}{16} - \frac{18}{16} + 1 = \frac{9}{16} - \frac{18}{16} + \frac{16}{16} = \frac{7}{16}
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 4x^2 - 3x + 1 \) là \(\frac{7}{16}\).