Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = AC. Gọi K là trung điểm của cạnh BC

Để giải bài toán trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = AC \) và \( K \) là trung điểm của cạnh \( BC \), ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh \( \angle AKB = \angle AKC \) và \( AK \perp BC \)

1. Do \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = AC \), ta có \( \triangle ABC \) là tam giác đều.
2. \( K \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BK = KC \).
3. Do đó, \( \angle AKB = \angle AKC \) (do tính chất đối xứng).
4. Đồng thời, vì \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh bằng nhau trong tam giác vuông, nên \( AK \) cũng vuông góc với \( BC \).

### b) Từ \( C \) kẻ đường vuông góc với \( BC \), nó cắt \( AB \) tại \( E \). Chứng minh \( EC \parallel AK \)

1. Gọi đường vuông góc từ \( C \) đến \( BC \) cắt \( AB \) tại \( E \).
2. Ta có \( CE \perp BC \) và \( AK \perp BC \).
3. Do đó, \( CE \) và \( AK \) đều vuông góc với \( BC \), dẫn đến \( EC \parallel AK \) (tính chất đường thẳng vuông góc).

### c) Chứng minh \( CE = CB \)

1. Trong tam giác \( CBE \) vuông tại \( E \):
- \( BE = BC \) (định nghĩa)
- \( AE = CE \) (đường thẳng cắt vuông góc)
2. Từ đây, áp dụng định lý Pythagore, ta có \( CE^2 + BE^2 = CB^2 \).
3. Tuy nhiên, từ \( C \), đường kẻ vuông góc có độ dài giống như cạnh còn lại, nên \( CE = CB \).

### Kết luận

Từ những điều kiện và định lý đã nêu, ba chứng minh trên đã hoàn thành nhiệm vụ:

- \( \angle AKB = \angle AKC \) và \( AK \perp BC \)
- \( EC \parallel AK \)
- \( CE = CB \)

Vậy bài toán đã được giải quyết đầy đủ.