Để giải bài toán này, ta tiến hành từng bước như sau:

### a. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.

1. **Vẽ tam giác ABC** với góc A = 60 độ.
2. **Dựng tam giác đều ABM** với đỉnh M nằm ngoài tam giác ABC.
3. **Dựng tam giác đều CAN** với đỉnh N cũng nằm ngoài tam giác ABC.

**Lý luận:**
Vì tam giác ABM là tam giác đều, nên các góc BMA = 60 độ. Tương tự, tam giác CAN cũng là tam giác đều cho nên góc CAN = 60 độ.

Ta có:
- Góc AMB = 60 độ
- Góc ANC = 60 độ

Nếu ta kéo dài đoạn thẳng AN nhằm mở rộng ra (điểm A và N), ta phát hiện rằng:
\[
\angle AMB + \angle ANC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ
\]
Tuy nhiên, vì angle A = 60 degrees, do đó AN tiếp tục kéo dài và sẽ thẳng hàng với điểm M, dẫn đến A, M và N thẳng hàng.

### b. Chứng minh rằng BN = CM.

Vì cả BN và CM đều là cạnh của hai tam giác đều, ta có:
- Tam giác đều ABM trong đó AB = AM = BM
- Tam giác đều CAN trong đó CA = AN = CN

Theo định nghĩa của tam giác đều, ta sẽ có:
\[
BN = AB \text{ (vì B là một đỉnh của tam giác ABM)}
\]
\[
CM = AC \text{ (vì C là một đỉnh của tam giác CAN)}
\]
Vì AB = AC (cạnh chung) và BN = CM, ta có thể đưa ra kết luận:
\[
BN = CM
\]

### c. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính góc BOC.

Ta sẽ tính góc BOC bằng cách xét các góc của tam giác ABC và các góc X, Y mà các đường BN và CM tạo ra.

- Do điểm O là giao điểm của BN và CM, ta thấy tam giác BOF và COF cũng như các góc tạo ra. Ta có:
- BOC = BONA + CNA – 60°

Nếu M, N thẳng hàng, do đó:
\[
\angle BOC = 120^\circ
\]

Tóm lại kết quả là:
1. A, M, N thẳng hàng
2. BN = CM
3. Angle BOC = 120 degrees

Hy vọng rằng câu trả lời trên đã giải đáp rõ ràng cho các câu hỏi của bạn!