Để chứng minh các hệ quả trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách rõ ràng.

**a. Chứng minh \(\triangle ABD \cong \triangle AED\)**

- Ta có:
- \(AD\) là tia phân giác của góc \(A\) nên \(\angle BAD = \angle CAD\).
- \(AB = AE\) (theo điều kiện của bài toán).

- Từ đó, theo tiêu chuẩn góc - cạnh - góc (GCG) ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle AED
\]

**b. Chứng minh \(\triangle ABD \cong \triangle ADF\)**

- Từ phần (a), ta có:
- \(\angle ABD = \angle ADE\).
- \(AB = AF\) (theo điều kiện \(AF = AC\) và \(AC > AB\)).

- Theo tiêu chuẩn cạnh - gốc - cạnh (CGC), ta có:
\[
\triangle ADF \cong \triangle AED
\]

- Từ đó suy ra \(\triangle ADF \cong \triangle AED\), suy ra:
\[
\angle AFD = \angle AED
\]

**c. Chứng minh \(BE \parallel CF\)**

- Từ phần (b), khi \(ABDF\) và \(AEDC\) đều có các góc tương ứng bằng nhau (\(\angle AFD = \angle AED\) và \(\angle ABD = \angle ACD\)), ta có thể áp dụng tiêu chuẩn góc - góc (GG) để chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\) và \(CF\) song song.

Sau khi đã lập luận xong cho từng phần, ta đã có các chứng minh cần thiết để khẳng định rằng:

1. \(\triangle ABD \cong \triangle AED\).
2. \(\triangle ABF \cong \triangle ADF\) và \(BE \parallel CF\).

Như vậy, chúng ta đã hoàn tất chứng minh cho bài toán.