Chứng minh rằng ít nhất cùng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau

Để chứng minh rằng trong số 45 học sinh, ít nhất chúng ta có thể tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau, ta có thể sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý ngăn xếp).

### Bước 1: Xác định số ngăn

Giả sử điểm kiểm tra là các số nguyên trong khoảng từ 0 đến 10 (vì đề bài cho biết điểm kiểm tra có giá trị là 10 điểm). Như vậy, ta có thể liệt kê các điểm sau: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Tổng cộng ta có 11 giá trị điểm.

### Bước 2: Áp dụng nguyên lý Dirichlet

Theo nguyên lý Dirichlet, nếu ta có \( n \) ngăn (trong trường hợp này là 11 điểm) và \( m \) đối tượng (trong trường hợp này là 45 học sinh), thì nếu \( m > n \times k \) với \( k \) là số lượng tối thiểu các đối tượng mà mỗi ngăn có thì ít nhất một ngăn chứa ít nhất \( k + 1 \) đối tượng.

### Bước 3: Tính toán

Trong trường hợp của chúng ta:
- \( m = 45 \) (số học sinh)
- \( n = 11 \) (số điểm)
- Chúng ta muốn tìm giá trị \( k \) mà trong mỗi ngăn giữ được nhiều học sinh nhất.

Ta cần tính \( 45 \div 11 \):
\[
45 \div 11 = 4 \quad (\text{phần nguyên})
\]
Điều này có nghĩa là mỗi giá trị điểm có thể có tối đa 4 học sinh mà không vượt quá số học sinh là 45.

### Bước 4: Kết luận

Nếu chỉ có 4 học sinh cho mỗi điểm, tổng số học sinh tối đa mà ta có thể có là:
\[
4 \times 11 = 44
\]
Tuy nhiên, ta có 45 học sinh. Vì vậy, theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất một điểm phải có ít nhất:
\[
4 + 1 = 5
\]
học sinh.

Tuy nhiên, chúng ta cần ít nhất 6 học sinh cùng có điểm. Để đảm bảo điều này, chỉ cần một trong những điểm có thêm một học sinh nữa, do đó chúng ta có:

- Nếu ta có thêm một điểm có ít nhất 6 học sinh, điều này dẫn đến việc ba điểm có 5 học sinh và một điểm có 6 học sinh, tổng cộng là 45 học sinh.

### Kết luận cuối cùng

Do đó, chắc chắn rằng trong 45 học sinh này ít nhất phải có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.