Cho \( c > 0 \) và \( a, b \geq c \). Chứng mình rằng

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}
\]

với \( c > 0 \) và \( a, b \geq c \), ta sẽ sử dụng một số bước sau:

1. **Thay đổi biểu thức**:
Đặt \( x = \sqrt{a-c} \) và \( y = \sqrt{b-c} \). Khi đó, ta có:
\[
a = x^2 + c \quad \text{và} \quad b = y^2 + c
\]
Như vậy, bất đẳng thức trở thành:
\[
\sqrt{cx^2} + \sqrt{cy^2} \leq \sqrt{(x^2 + c)(y^2 + c)}
\]
hay:
\[
\sqrt{c} (x + y) \leq \sqrt{(x^2 + c)(y^2 + c)}
\]

2. **Bình phương hai vế**:
Bình phương cả hai vế ta có:
\[
c(x+y)^2 \leq (x^2 + c)(y^2 + c)
\]
Mở rộng và sắp xếp vế phải:
\[
c(x^2 + 2xy + y^2) \leq x^2y^2 + c(x^2 + y^2) + c^2
\]
Từ đó ta cần chứng minh:
\[
c(x^2 + 2xy + y^2) \leq x^2y^2 + c(x^2 + y^2) + c^2
\]

3. **Sắp xếp lại**:
Đưa các chi tiết về một phía:
\[
c(x^2 + 2xy + y^2) - c(x^2 + y^2) - x^2y^2 - c^2 \leq 0
\]
Ta có thể biến đổi như sau:
\[
2cxy \leq x^2y^2 + c^2
\]

4. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**:
Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
\[
(x^2 + c)(y^2 + c) \geq (xy + c)^2
\]
Cho nên ta có thể viết lại và chứng minh rằng bất đẳng thức trên là đúng.

Như vậy, kết luận của chúng ta được chứng minh là đúng theo các điều kiện đã cho.

Do đó,
\[
\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}
\]
là một bất đẳng thức chính xác với \( c > 0 \) và \( a, b \geq c \).