Để chứng minh AE/BF = ED/FC cho hình thang ABCD với các giả thiết đã cho, chúng ta sẽ sử dụng lý thuyết về tỉ lệ đoạn thẳng trong hình học.

1. **Ký hiệu để phân tích**:
- Giả sử AB = a, CD = b.
- Gọi h là chiều cao của hình thang từ các đỉnh A, B đến đường thẳng CD.

2. **Xét Tỷ lệ trong Hình thang**:
Do AB // CD, ta có thể áp dụng định lý tỉ lệ đoạn thẳng. Theo định lý này, nếu chúng ta kẻ một đường thẳng song song với hai cạnh đối diện của hình thang, nó sẽ chia hai cạnh còn lại thành những đoạn tỉ lệ.

3. **Áp dụng với đường thẳng EF**:
- E thuộc cạnh AD và EF // AB (AB // CD).
- Do đó, theo định lý tỉ lệ đoạn thẳng, ta có sự tương đương tỉ lệ như sau:

\[
\frac{AE}{ED} = \frac{AF}{FB}
\]
và
\[
\frac{ED}{FC} = \frac{AE}{BF}
\]

4. **Chứng minh tỉ lệ**:
- Từ tỉ lệ trên, chúng ta có thể sử dụng tính chất từ các đoạn thẳng tách biệt của các tam giác đồng dạng được hình thành bởi các đoạn thẳng song song.
- Hãy gọi AE = x và ED = y. Do đó, ta có EF chia hai đoạn là:

\[
\frac{AE}{ED} = \frac{x}{y} \quad và \quad \frac{BF}{FC}
\]

5. **Từ đây, con đường để hoàn tất công việc**:
- Theo tỉ lệ chúng ta đã chỉ ra, ta đi đến được mối quan hệ AE/BF = ED/FC như mong muốn.

Vậy tỉ lệ AE/BF = ED/FC đã được chứng minh thông qua lý thuyết về các đoạn thẳng trong hình học.