Để tìm giá trị của \( n \) sao cho \( A = \frac{n-3}{2n+1} \in \mathbb{Z} \), ta cần nghiên cứu điều kiện để phân số này trở thành một số nguyên.

1. **Tìm điều kiện cho \( A \in \mathbb{Z} \)**:
- \( A \) sẽ là một số nguyên khi tử \( n - 3 \) chia hết cho mẫu \( 2n + 1 \). Điều này có nghĩa là:
\[
n - 3 = k(2n + 1) \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]
- Sắp xếp lại:
\[
n - 3 = 2kn + k \implies n - 2kn = 3 + k \implies n(1 - 2k) = k + 3
\]
- Từ đó, ta sẽ có:
\[
n = \frac{k + 3}{1 - 2k} \quad \text{(điều kiện } 1 - 2k \neq 0\text{)}
\]

2. **Tính giá trị nhỏ nhất của \( A \)**:
- Để tính giá trị nhỏ nhất của \( A \), ta thay các giá trị của \( n \) đã tìm được vào biểu thức \( A = \frac{n-3}{2n+1} \).
- Thay từng giá trị hợp lệ của \( n \) vào biểu thức và tính toán.

Tóm lại, để tìm các giá trị của \( n \), ta cần thử các giá trị của \( k \) và từ đó tính được các giá trị của \( n \). Sau đó, thế vào biểu thức \( A \) để tính và tìm giá trị nhỏ nhất.