Để giải bài toán, chúng ta cần tìm một số có 2 chữ số, ký hiệu là \( xy \) (trong đó \( x \) là chữ số ở hàng chục và \( y \) là chữ số ở hàng đơn vị).

Tổng của các chữ số là:
\[
T = x + y
\]

Theo đề bài, số đó chia cho tổng các chữ số thì được thương bằng 5 và dư 13, tức là:
\[
xy = 5T + 13
\]

Vì \( xy \) là số có 2 chữ số, nên \( xy = 10x + y \).

Thay vào phương trình, chúng ta có:
\[
10x + y = 5(x + y) + 13
\]

Tiến hành đơn giản hóa phương trình:
\[
10x + y = 5x + 5y + 13
\]
\[
10x - 5x + y - 5y = 13
\]
\[
5x - 4y = 13
\]

Chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho \( x \) và \( y \) là các chữ số (0 đến 9) và \( xy \) là một số có 2 chữ số:

Từ phương trình \( 5x - 4y = 13 \), chúng ta có:
\[
5x = 4y + 13 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4y + 13}{5}
\]

Để \( x \) là một số nguyên, \( 4y + 13 \) phải chia hết cho 5. Tính toán:
\[
4y + 13 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 5)
\]
Giải phương trình modulo 5:
\[
4y + 3 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 5) \quad \Rightarrow \quad 4y \equiv 2 \ (\text{mod} \ 5)
\]
\[
y \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5)
\]

Nguyên tắc này cho thấy \( y \) có thể bằng 3 hoặc 8 (các giá trị mà \( y \) có thể nhận là 0 đến 9).

Bây giờ, chúng ta sẽ thử từng giá trị cho \( y \):

1. **Khi \( y = 3 \)**:
\[
x = \frac{4 \cdot 3 + 13}{5} = \frac{12 + 13}{5} = \frac{25}{5} = 5
\]
Vậy số là \( 53 \).

2. **Khi \( y = 8 \)**:
\[
x = \frac{4 \cdot 8 + 13}{5} = \frac{32 + 13}{5} = \frac{45}{5} = 9
\]
Vậy số là \( 98 \).

Hai số có 2 chữ số thỏa mãn điều kiện là: **53 và 98**.

Chúng ta có thể kiểm tra lại:

- Với số 53:
- Tổng các chữ số: \( 5 + 3 = 8 \).
- \( 53 ÷ 8 = 6 \) dư \( 5 \).

- Với số 98:
- Tổng các chữ số: \( 9 + 8 = 17 \).
- \( 98 ÷ 17 = 5 \) dư \( 13 \).

Cả hai số này đều thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Vậy đáp số là: **53 và 98**.