Cho tam giác ABC có BC = 5cm. Trên tia AB lấy điểm K và D sao cho AK = BD. Vẽ KI//BC; DE//BC (I;E thuộc AC). CM AI=CE

Để chứng minh rằng \(AI = CE\) và tính độ dài \(DE + KI\) cho tam giác \(ABC\) với các điều kiện như đã nêu, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước.

### a, Chứng minh \(AI = CE\)

1. **Gọi điểm I và E:** Theo giả thuyết, \(KI \parallel BC\) và \(DE \parallel BC\). Khi đó, từ tính chất của các đường thẳng song song với hai cặp tam giác tạo thành, chúng ta có:
\[
\frac{AI}{AB} = \frac{AC}{AC + AI} \quad \text{(theo định luật giao động giữa các tam giác)}
\]
Tương tự:
\[
\frac{CE}{AC} = \frac{AC - CE}{AC}
\]
Vì \(KI \parallel BC\) và \(DE \parallel BC\), có thể suy ra được \(AI\) và \(CE\) phải liên hệ với nhau thông qua tỷ lệ.

2. **Sử dụng định lý Thales:** Do hai cặp đường thẳng song song \(KI\) và \(DE\) lần lượt cắt \(AC\), ta có:
\[
\frac{AI}{CE} = \frac{AK}{BD}
\]
Mà xét theo giả thuyết \(AK = BD\):
\[
\frac{AI}{CE} = 1 \Rightarrow AI = CE
\]
Do đó, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu.

### b, Tính độ dài \(DE + KI\)

1. **Tính độ dài:** Theo giả thuyết cho biết rằng \(AK = BD\). Do đó, suy ra rằng:
\[
KI = \frac{BC \cdot AK}{AC}
\]
và
\[
DE = \frac{BC \cdot BD}{AC}
\]
Như vậy, do \(AK = BD\), chúng ta có:
\[
KI = \frac{BC \cdot AK}{AC} \quad \text{và} \quad DE = \frac{BC \cdot AK}{AC}
\]

2. **Kết luận:** Lấy tổng \(DE + KI\):
\[
DE + KI = 2 \cdot \frac{BC \cdot AK}{AC}
\]
Bây giờ, thay \(BC = 5\) cm vào công thức:
\[
DE + KI = 2 \cdot \frac{5 \cdot AK}{AC}
\]

Tổng kết lại, để có kết quả chính xác cho \(DE + KI\) cần biết thêm độ dài của \(AC\) hoặc các thông số cụ thể liên quan đến \(AK\). Tuy nhiên, công thức chính xác cho tổng độ dài trên đã được xác định.