Để chứng minh rằng \( EF = GH \) trong hình thang \( ABCD \) với các điểm \( E, H, F, G \) như mô tả, ta có thể áp dụng tính chất về tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác và đường thẳng song song.

### Bước 1: Vẽ hình ảnh

Vẽ hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \). Vẽ đường thẳng song song với hai đáy cắt \( AD \) tại \( E \) và \( BC \) tại \( H \). Giả sử đường thẳng này cắt hai đường chéo \( DB \) và \( AC \) tại \( F \) và \( G \).

### Bước 2: Sử dụng tính chất phân giác

Vì \( AB \parallel CD \), theo định lý Thales về tỉ lệ đoạn thẳng, ta có:

\[
\frac{AE}{ED} = \frac{AF}{FB}
\]

và

\[
\frac{BH}{HC} = \frac{BG}{GA}
\]

### Bước 3: Áp dụng tính đối xứng

Vì các đoạn thẳng \( EF \) và \( GH \) nằm trên hai đoạn thẳng song song \( AB \) và \( CD \) nên chúng cũng tuân theo tính chất tỉ lệ giữa các đoạn được chia.

Do đó, ta có thể viết:

\[
\frac{EF}{GH} = \frac{AE}{ED} = \frac{BH}{HC}
\]

### Bước 4: Kết luận

Vì \( EF \) và \( GH \) nằm trên cùng một đường thẳng song song với các đoạn \( AD \) và \( BC \), nên:

\[
EF = GH
\]

### Kết luận

Ta đã chứng minh rằng \( EF = GH \).