Để giải bài toán này, chúng ta lần lượt thực hiện từng phần (a) và (b) như sau:

### Phần (a): Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành

1. **Xác định các điểm**: Theo đề bài, chúng ta có tam giác vuông ABC tại A với AC > AB và M là trung điểm của BC. Kẻ MH vuông góc với AC, H thuộc AC.
2. **Tính chất đối xứng**: Vì M là trung điểm BC nên BM = MC.
3. **Tứ giác BHCD**: Ta cần chứng minh BH = CD và BC // DH.
- Từ điều kiện MD = HM, có thể suy ra rằng D cũng là trung điểm của BH.
4. **Suy ra**: Do đó, BH = CD và BC // DH ⇒ Tứ giác BHCD là hình bình hành.

### Phần (b): Chứng minh tứ giác ABDH là hình chữ nhật

1. **Các cạnh vuông góc**:
- Ta biết rằng MH vuông góc với AC và D nằm trên HM sao cho HM = MD.
- Điều này dẫn đến ∠BHD = 90° và ∠DHA = 90°.
2. **Các tính chất khác**:
- Ta đã chứng minh rằng BH // AC và CD // AB.
- Vì B và D nằm trên cùng một đường thẳng song song với AC, đồng thời có các góc vuông tại H, nên ta kết luận rằng tứ giác ABDH có 4 góc vuông.
3. **Tứ giác chữ nhật**: Từ các tính chất trên, có thể khẳng định rằng tứ giác ABDH là hình chữ nhật.

Như vậy, cả hai phần (a) và (b) đã được chứng minh.