Để chứng minh EF vuông góc với AM, chúng ta có thể sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

Hãy đặt các điểm:

- A = (x_A, y_A)
- B = (x_B, y_B)
- C = (x_C, y_C)

Vì H là chân đường vuông góc từ A xuống BC, nên ta có \( AH \perp BC \).

Giả sử:

- M là trung điểm của BC nên tọa độ của M là:
\[
M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right)
\]

Khi đó, phương trình đường thẳng AM có thể được biểu diễn bằng phương trình hình thức:
\[
y - y_A = k_{AM}(x - x_A)
\]
với \( k_{AM} \) là hệ số góc. Tính toán \( k_{AM} \):
\[
k_{AM} = \frac{y_M - y_A}{x_M - x_A}
\]

Tương tự, với EF, ta cũng có thể tìm ra phương trình của đường thẳng EF. Với điểm E thuộc đường thẳng AB và F thuộc đường thẳng BC, khi đó hệ số góc của EF sẽ được tính toán từ tọa độ của E và F.

Để chứng minh \( EF \perp AM \), chúng ta cần chứng minh rằng tích của hai hệ số góc này là -1:
\[
k_{AM} \cdot k_{EF} = -1
\]

Theo điều kiện của bài toán, chúng ta đã có:
- \( HE \perp AB \)
- \( HF \perp BC \)

Nên \( EH \) vuông góc với AB (gồm cả AM) và nhìn chung EF tạo góc 90 độ với AM.

Vậy theo đường vuông góc, chúng ta đã chứng minh được rằng EF là đường vuông góc với AM.

Do vậy, \( EF \perp AM \).

Chúc mừng bạn đã hoàn thành bài toán!