Trong mặt phẳng Oxy, cho \( A(1; -3), B(2; 1), C(3; -4) \). Gọi M là trung điểm của BC. Tìm tọa độ của điểm E sao cho \( \overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CB} \)

Để tìm tọa độ điểm \( E \) sao cho \( \overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CB} \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Tìm tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \)**:
\[
M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{2 + 3}{2}, \frac{1 - 4}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, -\frac{3}{2} \right)
\]

2. **Tính vector \( \overrightarrow{AM} \)**:
\[
A(1, -3), \quad M\left(\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right)
\]
\[
\overrightarrow{AM} = M - A = \left( \frac{5}{2} - 1, -\frac{3}{2} + 3 \right) = \left( \frac{5}{2} - \frac{2}{2}, -\frac{3}{2} + \frac{6}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)
\]

3. **Tính vector \( \overrightarrow{CB} \)**:
\[
C(3, -4), \quad B(2, 1)
\]
\[
\overrightarrow{CB} = B - C = (2 - 3, 1 + 4) = (-1, 5)
\]

4. **Tính \( \overrightarrow{AE} \)**:
Theo phương trình đã cho:
\[
\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CB}
\]
Đầu tiên, tính \( 2\overrightarrow{AM} \):
\[
2\overrightarrow{AM} = 2 \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) = (3, 3)
\]

Sau đó, cộng thêm \( \overrightarrow{CB} \):
\[
\overrightarrow{AE} = (3, 3) + (-1, 5) = (3 - 1, 3 + 5) = (2, 8)
\]

5. **Tìm tọa độ điểm \( E \)**:
Ta có:
\[
\overrightarrow{AE} = E - A
\]
\[
E - A = (2, 8) \implies E = A + (2, 8) = (1 + 2, -3 + 8) = (3, 5)
\]

Vậy tọa độ điểm \( E \) là \( (3, 5) \).