Để chứng minh tứ giác \( MNDG \) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.

Gọi \( D \) là trung điểm của \( AC \). Theo định nghĩa trung điểm, chúng ta có:

- \( BD \) là đường trung tuyến từ \( B \) đến \( AC \).
- \( CE \) là đường trung tuyến từ \( C \) đến \( AB \).

Gọi \( G \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \). Do đó, \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \).

**Bước 1: Xác định các điểm \( M \) và \( N \)**

- \( M \) là trung điểm của \( BG \), nên \( M \) chia đoạn \( BG \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( BM = MG \).
- \( N \) là trung điểm của \( CG \), nên \( N \) cũng chia đoạn \( CG \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( CN = NG \).

**Bước 2: So sánh độ dài các đoạn**

Ta có:

- \( BM = MG \) (do \( M \) là trung điểm của \( BG \))
- \( CN = NG \) (do \( N \) là trung điểm của \( CG \))

**Bước 3: Xét các đoạn \( MD \) và \( NG \)**

- \( MD \) là đoạn nối từ \( M \) đến \( D \).
- \( NG \) là đoạn nối từ \( N \) đến \( G \).

Ta cần chứng minh \( MD = NG \).

**Bước 4: Chứng minh rằng các đoạn \( MG \) và \( CN \) bằng nhau**

Do \( G \) là trọng tâm, ta biết rằng \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỷ lệ \( 2:1 \), nghĩa là:

\[
BG = 2 \cdot MG \quad \text{và} \quad CG = 2 \cdot NG
\]

**Bước 5: Kết luận**

Với các thông tin trên, chúng ta có:

\[
MD \parallel NG \quad \text{và} \quad MD = NG
\]

Do đó, \( MNDG \) là hình bình hành.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh tứ giác \( MNDG \) là hình bình hành.