So sánh: \( A = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \) và \( B = \frac{n^2 + 3}{n^2 + 4} \)

Để so sánh hai biểu thức \( A \) và \( B \), chúng ta sẽ phân tích và tính toán từng bước một.

### 1. So sánh \( A \) và \( B \)

Ta có:
\[
A = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}
\]
\[
B = \frac{n^2 + 3}{n^2 + 4}
\]

**Bước 1:** Chuyển đổi về dạng chung:
\[
A - B = \frac{(n^2 - 1)(n^2 + 4) - (n^2 + 3)(n^2 + 1)}{(n^2 + 1)(n^2 + 4)}
\]

**Bước 2:** Tính tử số:
\[
(n^2 - 1)(n^2 + 4) = n^4 + 4n^2 - n^2 - 4 = n^4 + 3n^2 - 4
\]
\[
(n^2 + 3)(n^2 + 1) = n^4 + 4n^2 + 3
\]
\[
A - B = \frac{(n^4 + 3n^2 - 4) - (n^4 + 4n^2 + 3)}{(n^2 + 1)(n^2 + 4)}
\]
\[
= \frac{-n^2 - 7}{(n^2 + 1)(n^2 + 4)}
\]

**Kết luận:**
- Khi \( n \geq 1 \), thì \(-n^2 - 7 < 0 \), nên \( A < B \).

### 2. Thông tin thêm

Từ thông tin rằng \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 12^2 = 650 \), ta có thể so sánh \( A \) và \( B \) cho các giá trị cụ thể của \( n \).

### 3. So sánh tổng \( A \) và \( B \)

Xét:
\[
A = 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 24^2
\]
\[
B = 1^2 + 3^2 + 6^2 + ... + 36^2
\]

Cách tính sẽ tương tự như trên. Bạn có thể thấy rằng tổng các số bình phương của các số chẵn sẽ nhỏ hơn tổng các số bình phương của các số lẻ (bởi vì các số lẻ có giá trị lớn hơn trong một đoạn liên tục).

### 4. Chứng minh A < 1/3

Mạng lưới so sánh tiếp theo có thể yêu cầu chứng minh:
\[
A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + ... + \frac{1}{100^2} < \frac{1}{3}
\]

Để chứng minh, bạn cần thực hiện tính toán cụ thể tổng tất cả phân số này và chứng minh rằng thành phần đó luôn nhỏ hơn \( \frac{1}{3} \).

Đây là cách thức các bạn có thể tiếp cận bài toán. Nếu cần cụ thể hóa hoặc thực hiện thêm bất kỳ bước nào, hãy cho tôi biết!