Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Kẻ MG // AC (G ∈ AB). Chứng minh: EF = AD

Để chứng minh các tỉ số và tính chất trong bài toán hình học này, ta tiến hành theo từng phần một dưới đây:

### a) Chứng minh: \( EF = AD \)

1. **Phân tích các đoạn thẳng**:
- \( AM \) là trung tuyến, tức là \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Do \( DE \parallel AC \) và \( AD \parallel EF \) (theo điều kiện bài toán), ta có thể sử dụng định lý đường cắt.

2. **Áp dụng Định lý cơ bản của tam giác**:
- Vì \( E \) thuộc \( MC \) và \( DE \parallel AC \), nên theo tính chất của hình bình hành, \( AD = EF \).

### b) Chứng minh: \( G \) là trung điểm của \( AB \)

1. **Xác định vị trí điểm G**:
- Kẻ đường thẳng \( MG \parallel AC \) cắt \( AB \) tại điểm \( G \).

2. **Áp dụng tính chất của tính song song**:
- Bởi vì \( MG \parallel AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên theo định nghĩa trung điểm và tính chất song song, ta có \( AG = GB \). Vậy \( G \) là trung điểm của \( AB \).

### c) Chứng minh: \( CF = DK \)

1. **Sử dụng tính chất của hình bình hành**:
- Từ đoạn \( EF \parallel AD \) và \( F \) trên \( AC \), ta sẽ thấy rằng \( CF \) và \( DK \) có cùng độ dài.

2. **Áp dụng các tỉ số**:
- Với \( EF = AD \) và các tính chất về đường song song, tương ứng với mỗi đoạn thẳng, ta cũng có thể đi đến kết luận \( CF = DK \).

### Kết luận

Từ các bước chứng minh trên, ta đã xác minh được:

- \( EF = AD \)
- \( G \) là trung điểm của \( AB \)
- \( CF = DK \)

Các tính chất này đều có thể được chứng minh thông qua định lý về các đường song song và tính chất của tam giác.