Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 + y^2 + xy - 3x - 3y + 2027 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương cho các biến \( x \) và \( y \).

Trước tiên, chúng ta có thể nhóm lại các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \):

\[
P = x^2 + y^2 + xy - 3x - 3y + 2027
\]

Chúng ta có thể sắp xếp lại như sau:

\[
P = \frac{1}{2}(2x^2 + 2y^2 + 2xy - 6x - 6y) + 2027
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ thiết lập một biểu thức bằng cách thay đổi các hạng tử trong dấu ngoặc. Để hoàn thành bình phương cho \( 2x^2 + 2y^2 + 2xy \), có thể làm theo cách sau:

\[
2x^2 + 2y^2 + 2xy = 2\left(x^2 + y^2 + xy\right)
\]

Chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho \( x^2 + y^2 + xy \). Một cách thông dụng để hoàn thành bình phương với ba biến là sử dụng các biến phụ. Đặt \( z = x + y \) và \( w = xy \). Như vậy, chúng ta có:

\[
x^2 + y^2 = z^2 - 2w
\]
\[
P = z^2 - 2w + w - 3x - 3y + 2027 = z^2 - w - 3z + 2027
\]
Tuy nhiên cách này có vẻ không đơn giản, chúng ta sẽ quay lại trực tiếp với các biến \( x \) và \( y \).

Chúng ta có thể tìm điểm đỉnh của biểu thức bậc hai này bằng cách đặt đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \) bằng 0.

Đạo hàm riêng theo \( x \):

\[
\frac{\partial P}{\partial x} = 2x + y - 3 = 0
\]

Đạo hàm riêng theo \( y \):

\[
\frac{\partial P}{\partial y} = 2y + x - 3 = 0
\]

Giải hệ phương trình:

1. \( 2x + y - 3 = 0 \) (1)
2. \( 2y + x - 3 = 0 \) (2)

Từ phương trình (1), ta có:

\[
y = 3 - 2x
\]

Thay vào phương trình (2):

\[
2(3 - 2x) + x - 3 = 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
6 - 4x + x - 3 = 0 \rightarrow 3 - 3x = 0 \rightarrow x = 1
\]

Thay giá trị \( x = 1 \) vào phương trình (1):

\[
2(1) + y - 3 = 0 \rightarrow 2 + y - 3 = 0 \rightarrow y = 1
\]

Vậy ta có \( x = 1 \) và \( y = 1 \).

Bây giờ thay vào biểu thức \( P \):

\[
P(1, 1) = 1^2 + 1^2 + 1\cdot1 - 3\cdot1 - 3\cdot1 + 2027
\]
\[
= 1 + 1 + 1 - 3 - 3 + 2027 = 2024
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \boxed{2024} \).