Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác của tam giác đó

Để chứng minh định lý: "Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác", ta sẽ làm theo các bước sau:

**Giả sử:**

Cho tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \) (tam giác cân tại \( A \)), \( BC \) là cạnh đáy. Gọi \( D \) là trung điểm của cạnh \( BC \), và \( E \) là trung điểm của cạnh \( AB \).

**Cần chứng minh:**

Hai đường trung tuyến \( AD \) và \( BE \) là đường phân giác, tức là:
- \( \angle BAD = \angle DAC \)
- \( \angle ABE = \angle EAC \)

### Bước 1: Tính độ dài các đoạn

Trước tiên, vì \( D \) là trung điểm của \( BC \) nên:
\[
BD = DC
\]
Vì \( AB = AC \), ta gọi độ dài của \( AB = AC = c \) và \( BC = a \).

### Bước 2: Sử dụng Định lý Cosine

Từ yếu tố này, ta có thể áp dụng Định lý Cosine trong tam giác \( ABD \) và tam giác \( ACD \):

**Trong tam giác \( ABD \):**
\[
AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle ABD)
\]

**Trong tam giác \( ACD \):**
\[
AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos(\angle ACD)
\]

### Bước 3: So sánh \( \angle ABD \) và \( \angle ACD \)
Thêm vào đó, vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \) nên:
\[
\angle ABD = \angle ACD \quad (\text{do hai bên đối xứng})
\]

### Bước 4: Áp dụng tính chất của tam giác

Vì \( BD = DC \) nên từ các công thức trên, ta nhận thấy rằng:
\[
AD^2 \text{ của hai tam giác } ABD \text{ và } ACD là như nhau
\]
Điều này chứng tỏ \( \angle BAD = \angle DAC \).

### Kết luận

Tương tự cho đường trung tuyến \( BE \) và việc chia đôi bởi \( E \):
\[
\angle ABE = \angle EAC
\]

Do đó, ta đã chứng minh rằng trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác của tam giác đó.

**Kết luận**: Định lý đã được chứng minh.