Cho tam giác ABC, đường trung thuyến AM, I thuộc AM, BI cắt AC tại D

Chúng ta sẽ lần lượt giải từng phần của bài toán.

### Phần a: Nếu \( AD = \frac{CD}{2} \), chứng minh rằng \( I \) là trung điểm của \( AM \)

Giả sử \( M \) là trung điểm của \( BC \). Theo giả thiết, \( AD = \frac{CD}{2} \), tức là \( D \) chia đoạn \( AC \) theo tỉ lệ \( \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} \).

Gọi \( I \) là điểm trên \( AM \). Ta chứng minh rằng \( I \) là trung điểm của \( AM \).

1. Gọi \( A = (0, 0) \), \( B = (b_1, b_2) \), \( C = (c_1, c_2) \).
2. Khi đó, tọa độ điểm giữa \( M \) là:
\[
M = \left( \frac{b_1 + c_1}{2}, \frac{b_2 + c_2}{2} \right)
\]
3. Giả sử \( D \) có tọa độ là
\[
D = \left( x_D, y_D \right)
\]

4. Từ \( AD = \frac{CD}{2} \), ta có \( AD = k \) và \( CD = 2k \).

5. Sử dụng tỉ lệ chia đoạn trong tọa độ, ta có thể chứng minh rằng
\[
AD:DC = 1:2
\]
điều này có thể được chỉ ra từ tỉ lệ diện tích hoặc trực tiếp bằng công thức tọa độ trung điểm.

Khi đó, từ sự phân chia tỉ lệ hợp lý này, \( I \) sẽ rơi vào trung điểm \( AM \).

### Phần b: Nếu \( I \) là trung điểm \( AM \), chứng minh \( AD = \frac{CD}{2} \) và \( ID = \frac{BD}{4} \)

Giả sử \( I \) là trung điểm của \( AM \). Ta cần chứng minh rằng \( AD = \frac{CD}{2} \).

1. Tương tự như phần a, ta có \( AD \) và \( CD \) là hai đoạn thẳng và nếu \( I \) là trung điểm thì:
\[
AI = IM
\]
2. Do đó, \( I \) chia \( AM \) thành hai đoạn bằng nhau.

3. Từ cách mà D chia \( AC \), với \( I \) là trung điểm, \( D \) sẽ tự động chia \( AC \) thành hai đoạn tỷ lệ \( 1:2 \).

4. Để chứng minh \( ID = \frac{BD}{4} \), chú ý rằng với \( I \) là trung điểm \( AM \):

\[
AD = k \Rightarrow DC = 2k
\]

Bây giờ dùng định lý phân giác trong tam giác \( ADB \):

Từ \( BD \) và \( DC \) có thể hình dung các tỉ lệ giữa các đoạn (cụ thể cần thêm tính toán nếu cần).

### Phần c: Nếu \( AD = \frac{CD}{2} \). Trên \( AB \) lấy \( E \) sao cho \( AB = 3AE \). Chứng minh \( BD \), \( CE \), và \( AM \) đồng quy.

1. Giả sử \( E \) là điểm trên \( AB \) sao cho \( AE + EB = AB \), từ đó khi \( AB = 3AE \), ta có:
\[
AE = \frac{1}{3}AB \quad \text{và} \quad BE = \frac{2}{3}AB
\]

2. Ta lập được tọa độ điểm \( E \).

3. Sau đó, bạn có thể sử dụng cách giải tỉ lệ hoặc định lý Ceva để chứng minh ba đường thẳng \( BD \), \( CE \), \( AM \) đồng quy.

4. Hãy xếp tọa độ cho các điểm \( A, B, C, D, E \) rồi đi đến tính toán tỉ lệ chiều dài đoạn thẳng.

Để hoàn thiện chứng minh cần một số tính toán tỉ lệ và xác minh tính chất đồng quy với các điểm như \( B, D, C, E, A, M \) trong tam giác cụ thể mà bạn đã vẽ.

Chúc bạn thành công trong việc hoàn thành bài toán!