Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta có thể thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \( d \parallel BC \):
1. Xét tam giác \( ABC \) có góc \( \angle A = 60^\circ \) và \( AH \) là đường cao (có nghĩa là \( AH \perp BC \)).
2. Ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( \angle ABH = 60^\circ \).
3. Sử dụng định lý tổng góc trong tam giác:
\[
\angle AHB + \angle ABH + \angle BAH = 180^\circ
\]
Ở đây, \( \angle AHB = 90^\circ \), \( \angle ABH = 60^\circ \) nên ta có:
\[
90^\circ + 60^\circ + \angle BAH = 180^\circ
\]
Từ đó suy ra \( \angle BAH = 30^\circ \).

4. Từ đó có \( \angle BAH + \angle ABC = 90^\circ \), suy ra \( \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

5. Do đó, theo định lý về đường thẳng song song (góc đồng vị), ta có \( d \parallel BC \).

### b) Chứng minh \( d \perp AH \):
1. Đường \( d \) là đường kẻ vuông góc với đường \( AH \) tại điểm \( H \) (theo định nghĩa của đường cao trong tam giác).
2. Vậy \( d \perp AH \).

### c) Kết luận về hai đường thẳng song song:
1. Nếu \( d \parallel BC \) và \( d \perp AH \), điều này có nghĩa là hai đường \( d \) và \( BC \) cùng không thay đổi trong một hệ trục tọa độ (cùng hướng).
2. Từ các kết luận trên, ta suy ra rằng nếu \( d \parallel BC \) thì \( AH \) cũng sẽ luôn vuông góc với \( BC \).
3. Do đó, việc xác định các đường này phù thuộc vào quy luật hình học trong tam giác.

### Kết luận:
- \( d \parallel BC \)
- \( d \perp AH \)
- Suy ra được tính chất của hai đường thẳng song song dựa vào vị trí của các góc và độ dài các đoạn thẳng.

Hy vọng hướng dẫn này giúp ích cho bạn trong việc giải bài tập!