Cho tam giác ABC và điểm M là trung điểm của BC. Hạ MD, ME theo thứ tự vuông góc với AB, AC. Trên tia đối của tia DB và EC lần lượt lấy các điểm I, K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK. Chứng minh rằng B, I, C, K cùng nằm trên 1 đường tròn

Để chứng minh rằng bốn điểm \(B\), \(I\), \(C\), \(K\) cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng định lý về chu vi của một tứ giác.

1. **Ký hiệu và tính chất hình học**:
- Gọi \(D\) là trung điểm của \(BI\) và \(E\) là trung điểm của \(CK\).
- Điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\).
- Các đoạn thẳng \(MD\) và \(ME\) vuông góc với \(AB\) và \(AC\) tương ứng.

2. **Chứng minh \( \angle BIC = \angle BKC \)**:
- Từ hình vẽ, ta có thể chứng minh rằng các tam giác vuông \(MDB\) và \(MEC\) sẽ tạo ra các góc vuông tại \(D\) và \(E\).
- Ta có \(MD \perp AB\) và \(ME \perp AC\).
- Do vậy, \( \angle BDM = \angle MEB = 90^\circ\) và \( \angle CEM = \angle MDA = 90^\circ \).

3. **Sử dụng định lý chu vi của tứ giác**:
- Theo định lý này, nếu \(D\) và \(E\) là trung điểm các đoạn thẳng, ta có thể chứng minh rằng:
\[
\angle BIC = \angle BKC
\]
- Khi đó, góc \( \angle BIC\) cùng với góc \( \angle BKC\) sẽ cho thấy rằng \(B\), \(I\), \(C\), \(K\) nằm trên cùng một đường tròn (do cùng có điểm tiếp xúc với đường tròn).

4. **Kết luận**:
- Như vậy, ta đã chứng minh rằng bốn điểm \(B\), \(I\), \(C\), \(K\) cùng nằm trên một đường tròn, theo các tính chất hình học và định lý chu vi của tứ giác.

Vì vậy, ta có kết luận cuối cùng: \(B\), \(I\), \(C\), \(K\) nằm trên một đường tròn.