Để chứng minh các mệnh đề trên, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần a: Chứng minh \( \triangle ABM = \triangle ADM \)

1. **Khảo sát góc**:
- Tia phân giác của góc \( A \) chia góc \( \angle BAC \) thành 2 góc bằng nhau. Gọi \( \alpha = \angle BAM = \angle CAM \).
- Do đó, \( \angle ABM = \angle ADM \).

2. **Khảo sát cạnh**:
- Theo điều kiện bài toán, ta có \( AD = AB \).
- Do đó, \( AB = AD \).

3. **Cạnh chung**:
- Cạnh \( AM \) là cạnh chung của hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle ADM \).

4. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng**:
- Từ các yếu tố trên, ta có:
- \( \angle ABM = \angle ADM \) (cùng một góc),
- \( AB = AD \),
- \( AM = AM \) (cạnh chung).
- Do đó, ta kết luận rằng \( \triangle ABM \sim \triangle ADM \).

### Phần b: Chứng minh \( AC = AK \)

1. **Xem xét các tam giác đã dựng**:
- Trong tam giác \( ABC \), tia phân giác \( AM \) cắt cạnh \( BC \) tại \( M \).
- Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}
\]

2. **Áp dụng tính chất đồng dạng**:
- Từ phần a, với \( \triangle ABM \sim \triangle ADM \), ta có:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{BM}{AM}
\]
Do \( AD = AB \) nên ta có:
\[
\frac{AB}{AB} = \frac{BM}{AM}
\]
Suy ra \( BM = AM \).

3. **Sử dụng tính đồng dạng để suy diễn**:
- Do \( K \) là giao điểm của \( AB \) và \( DM \), ta có \( DK \parallel BM \).
- Khi đó, từ tính chất về cạnh của hai tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AC}{AK} = \frac{AD}{AB}
\]
Suy ra \( AC = AK \) vì \( AD = AB \).

Từ các bước lập luận và chứng minh trên, ta có thể kết luận:

\[
\angle ABM = \angle ADM
\]
\[
AC = AK
\]

Như vậy, ta đã chứng minh thành công cả hai phần của bài toán.