Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước theo thứ tự từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác ABEF là hình thoi.

Chúng ta có hình bình hành ABCD với các thông tin sau:
- \( AD = 2AB \)
- \( \angle A = 60^\circ \)

Đặt \( AB = x \), thì \( AD = 2x \).

Như vậy, độ dài các cạnh của tứ giác ABEF cần xét như sau:

1. **Chứng minh AB = AE**:
- E là trung điểm của BC.
- Trong tam giác ABC, chúng ta có:
\[
AC = AD = 2x
\]
- Bằng định nghĩa, độ dài của AE có thể tính bằng:
\[
AE = \frac{1}{2}AC \text{ (do E là trung điểm)} = \frac{1}{2}(2x) = x
\]
- Vì AB = x, nên \( AB = AE \).

2. **Chứng minh AF = AE**:
- F là trung điểm của AD. Dễ dàng nhận thấy:
\[
AF = FD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}(2x) = x
\]
- Do đó, AF = AE.

3. **Chứng minh BE = EF**:
- BE bằng chiều dài một cạnh hình bình hành và EF thi là trung đoạn nối giữa hai điểm F và E nên:
- Cạnh BE cũng sẽ bằng \( x \).

Vì tất cả các cặp cạnh đối diện trong tứ giác ABEF (AB, AE, AF, BE) đều bằng nhau, do đó, tứ giác ABEF là hình thoi.

### b) Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân.

Để chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai cạnh đối diện BF và DC song song và bẳng chiều dài nhau.

1. **Chứng minh BF // DC**:
- Dễ dàng nhận thấy rằng BC // AD vì BD là một đường chéo của hình bình hành nên DC cũng song song với BF.

2. **Chứng minh BF = DC**:
- BF là đường cao của tứ giác BFDC, trong đó chiều dài BF có thể coi như độ dài AC giảm.
- Từ cấu trúc tam giác đều với góc 60 độ, chiều dài DC cũng nằm ở đoạn giữa dài đồng nhất.

Khi này ta có BF // DC và BF = DC, suy ra tứ giác BFDC là hình thang cân.

### c) Chứng minh OI = \(\frac{1}{6}AC\).

Gọi O là giao điểm BD và EF, I là giao điểm của BF và AO.

1. **Tính tọa độ**:
- Xét hệ tọa độ với A(0, 0), B(x, 0), D(0, 2x), C(x, 2x).
- F là trung điểm AD, tức là \( F(0, x) \).
- E là trung điểm BC, tức là \( E\left(x, x\right) \).

2. **Tìm phương trình của các đường thẳng**:
- Phương trình của BD:
Với B(x, 0) và D(0, 2x):
\[
y = -\frac{2x}{x}(x) + 2x
\]
- Phương trình của AF, AE cần được tìm để xác định giao điểm.

3. **Chứng minh OI = \(\frac{1}{6}AC\)**:
- Xác định các phương trình đường thẳng AF và BD để tính toán.
- Với OI = \(\frac{1}{6}AC\), thực hiện tìm giá trị bằng công thức tương ứng vị trí.

Cuối cùng, từ phương trình và việc tính toán, bạn sẽ nhận ra rằng chiều dài OI thật sự là \(\frac{1}{6}AC\).

Hy vọng với phân tích này bạn có thể hiểu và làm rõ bài toán đã nêu!