Để tìm mối quan hệ giữa biểu thức \( M \) và \( N \), ta cần tính toán từng biểu thức.

### Bước 1: Tính biểu thức \( M \)

Biểu thức \( M \) là:

\[
M = 4(x + 1)^3 + (2x + 1)^3 - 8(x - 1)(x + 1) - 12x
\]

**Tính từng phần:**

1. **Tính \( (x + 1)^3 \)**:
\[
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
\]
=> \( 4(x + 1)^3 = 4(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 \)

2. **Tính \( (2x + 1)^3 \)**:
\[
(2x + 1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1
\]

3. **Tính \( 8(x - 1)(x + 1) \)**:
\[
8(x - 1)(x + 1) = 8(x^2 - 1) = 8x^2 - 8
\]

4. **Thay thế vào biểu thức \( M \)**:
\[
M = (4x^3 + 12x^2 + 12x + 4) + (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) - (8x^2 - 8) - 12x
\]

### Bước 2: Kết hợp các phần

Gộp lại các hạng tử:
\[
M = (4x^3 + 8x^3) + (12x^2 + 12x^2 - 8x^2) + (12x + 6x - 12x) + (4 + 1 + 8)
\]
\[
M = 12x^3 + 16x^2 + 7
\]

### Bước 3: Tính biểu thức \( N \)

Biểu thức \( N \) là:

\[
N = (2x - 1)(2x + 1) - 4(x^2 - 7) - 1
\]

**Tính từng phần:**

1. **Tính \( (2x - 1)(2x + 1) \)**:
\[
(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - 1
\]

2. **Tính \( 4(x^2 - 7) \)**:
\[
4(x^2 - 7) = 4x^2 - 28
\]

3. **Thay thế vào biểu thức \( N \)**:
\[
N = (4x^2 - 1) - (4x^2 - 28) - 1
\]
=> Gán và rút gọn:
\[
N = 4x^2 - 1 - 4x^2 + 28 - 1 = 26
\]

### Bước 4: Kết luận

Biểu thức M và N đã được giản lược như sau:
- \( M = 12x^3 + 16x^2 + 7 \)
- \( N = 26 \)

### Mối quan hệ giữa \( M \) và \( N \):

- \( M \) là biểu thức bậc 3 phụ thuộc vào \( x \).
- \( N \) là một hằng số.

Tuy không có mối quan hệ rõ ràng giữa \( M \) và \( N \) (bởi \( N \) là một hằng số, trong khi \( M \) phụ thuộc vào \( x \)), có thể kiểm tra giá trị của \( M \) tại các giá trị của x để tìm mối liên hệ sâu hơn nếu cần.