Để chứng minh các yêu cầu trong bài, ta sẽ sử dụng các tính chất của các góc và các đường thẳng.

### a) Chứng minh \( d \parallel BC \):

1. **Xét tam giác \( ABC \)**: Ta có góc \( \angle AHB = 90^\circ \).
2. Theo giả thiết, \( \angle AHB = 60^\circ \) và \( \angle AHC = 60^\circ \).
3. Từ đó, \( \angle ABC + \angle ACB + \angle A = 180^\circ \).
4. Vậy \( \angle ABC = 180^\circ - \angle A - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \).
5. Suy ra \( \angle ABC = \angle ACB \), tức là tam giác \( ABC \) là tam giác cân.
6. Khi \( d \) cắt \( BC \) tại \( H \), từ đó ta có các góc so le trong và có thể suy ra \( d \parallel BC \).

### b) Chứng minh \( d \perp AH \):

1. Ta đã chứng minh rằng \( d \parallel BC \) và biết \( AH \) là đường trung trực của \( BC \).
2. Do đó, \( AH \) vuông góc với \( BC \).
3. Vì \( d \parallel BC \), theo tính chất của đường thẳng vuông góc, ta có \( d \perp AH \).

### c) Kết luận về hai đường thẳng song song:

- Từ các chứng minh trên, ta nhận thấy rằng khi hai đường thẳng song song thì góc so le trong là bằng nhau.
- Nếu \( d \perp AH \), thì đường thẳng vuông góc với đường thẳng này và song song với một đường thẳng khác sẽ luôn giữ nguyên khoảng cách, tức là không có điểm giao nhau.

Như vậy, \( d \parallel BC \) và \( d \perp AH \) được chứng minh.