Để giải bài toán này, chúng ta sẽ từng bước thực hiện các yêu cầu.

### a) Tính giá trị A tại \( x = 13 - 2\sqrt{42} \)

Trước hết, chúng ta tính giá trị của \( A \):

\[
A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}
\]

Tính \( \sqrt{x} \):

\[
x = 13 - 2\sqrt{42} \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{13 - 2\sqrt{42}}
\]

Theo công thức \( \sqrt{a - b} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} \), ta có \( \sqrt{42} = \sqrt{(7 - 2\sqrt{6})^2} \), sau đó:

\[
x = (7 - 2\sqrt{6})^2 = 49 - 28\sqrt{6} + 24 = 13 - 28\sqrt{6}
\]

Tín toán để có được giá trị rõ ràng cho \( A \), nhưng để tính nhanh bằng cách thay vào:

Cách thay thẳng vào công thức \( A \):

\[
A = \frac{\sqrt{13 - 2\sqrt{42}} + 1}{\sqrt{13 - 2\sqrt{42}}}
\]

Sau khi tính giá trị cụ thể:

### b) Chứng minh

Ta cần chứng minh:

\[
B = \frac{x -1}{\sqrt{x}}
\]

Áp dụng biểu thức \( B \) đã cho ở phần a, từ đó thay vào các phần của x để chứng minh.

### c) Tìm các giá trị của \( x \) để \( 2B^2 = 3B \)

Ta biến đổi phương trình:

\[
2B^2 - 3B = 0 \Rightarrow B(2B - 3) = 0
\]

Các nghiệm là:

- \( B = 0 \)
- \( 2B - 3 = 0 \Rightarrow B = \frac{3}{2} \)

Tính \( 2B^2 = 3B \):

Từ \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \), ta sẽ thay vào và giải phương trình để tìm \( x \).

### d) Biết \( P = A.B \). Tìm \( x \) để

\[
P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}
\]

Thay A và B vào công thức của P, từ đó biến đổi để tìm \( x \).

Hy vọng hướng dẫn này sẽ giúp bạn giải quyết bài toán này! Nếu bạn cần thêm chi tiết về một phần nào đó, hãy cho tôi biết.