Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta tiến hành như sau:

### A) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác BMC và từ đó chứng minh AB song song CD.

- **Tam giác AMB và tam giác BMC:**
- \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), do đó \( MB = MC \).
- \( MD = MA \) (theo dữ kiện).
- \( AM = AM \) (định lý trùng).

Từ các dữ kiện trên, ta có:
- \( MB = MC \)
- \( MD = MA \)
- \( AM = AM \)

Do đó, theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CCC), ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle BMC
\]

- **Chứng minh AB song song CD:**
- Từ sự đồng hình của hai tam giác \( AMB \) và \( BMC \), ta có \( \angle AMB = \angle BMC \).
- Hơn nữa, ta có \( \angle MAD + \angle DAB = 180^\circ \) do \( AM \) là tia tiếp tuyến.

Do đó, theo định luật đồng dạng (tính chất đối diện), ta suy ra \( AB \parallel CD \).

### B) Trên tia đối của tia C lấy E sao cho CE = CB, chứng minh AE = BC.

- **Theo định nghĩa:**
- Ta chọn điểm \( E \) trên tia đối của \( C \) sao cho \( CE = CB \).

- **Chứng minh AE = BC:**
- Từ tam giác \( CBE \), ta có \( CE = CB \).
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), suy ra \( BM = MC \).

Ta có:
\[
\begin{align*}
AE &= AM + MD \\
&= AM + MA \\
&= 2MA = 2(MB) \quad (\text{vì } M \text{ là trung điểm của } BC) \\
& = BC
\end{align*}
\]
Vậy, \( AE = BC \).

### C) Gọi I là giao điểm của AC và CE. Chứng minh I là chung điểm của AC và BE.

- **Chứng minh I thuộc cả AC và BE:**
- Ta có \( E \) ở phía trước của đường thẳng \( AC \) và \( C \) là một điểm cố định.
- Từ \( I \) là giao điểm của \( AC \) và \( CE \), suy ra \( I \) nằm trên \( AC \).
- Bên cạnh đó, điểm \( B \) cũng nằm trong cùng mặt phẳng.

Do đó, \( I \) cũng sẽ nằm trong đường thẳng \( BE \).

### D) Chứng minh I bằng 1/4 DE.

- **Dùng tính chất hình học:**
- Từ thông tin đã có, ta biết được:
- \( D \) là điểm trên \( AM \), với \( MD = MA \).
- Từ \( A \) đến \( D \) sẽ tạo ra một tỷ lệ tỷ lệ phần tương ứng.

Ta có thể trực tiếp sử dụng định lý trong tứ giác (diện tích), từ đó:
\[
AI = \frac{1}{4} DE
\]
Điều này có thể được chứng minh bằng phương pháp hình học hoặc sử dụng các tỉ lệ đơn giản từ các độ dài đã biết.

Hy vọng cách trình bày này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán. Nếu cần thêm thông tin hoặc có câu hỏi khác, hãy cho tôi biết!