Để tìm số tự nhiên \( n \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ giải từng câu a), b), c), d) một cách chi tiết.

### a) Điều kiện: \( 4n + 5 \) chia hết cho \( 2n - 3 \)

Ta cần \( 4n + 5 \equiv 0 \mod (2n - 3) \).

Đầu tiên, ta sẽ thiết lập phương trình:

\[
4n + 5 = k(2n - 3) \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Giải phương trình:
\[
4n + 5 = 2kn - 3k
\]
\[
4n - 2kn = -3k - 5
\]
\[
n(4 - 2k) = -3k - 5
\]

Khi \( 4 - 2k \neq 0 \), ta có:

\[
n = \frac{-3k - 5}{4 - 2k}
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, cần kiểm tra các giá trị nguyên của \( k \).

- Nếu \( k = 1 \):

\[
n = \frac{-3(1) - 5}{4 - 2(1)} = \frac{-8}{2} = -4 \quad (không hợp lệ)
\]

- Nếu \( k = 2 \):

\[
n = \frac{-3(2) - 5}{4 - 2(2)} = \frac{-6 - 5}{4 - 4} \quad (không xác định)
\]

- Nếu \( k = 0 \):

\[
n = \frac{-3(0) - 5}{4 - 2(0)} = \frac{-5}{4} \quad (không hợp lệ)
\]

Sau khi thử nhiều giá trị khác, ta thấy không có \( n \) nào thỏa mãn điều kiện chia hết này.

### b) Điều kiện: \( 5 - n \) chia hết cho \( n + 1 \)

Ta có:

\[
(5 - n) \mod (n + 1) = 0
\]

Ta có thể viết lại như sau:

\[
5 - n = k(n + 1) \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Giải phương trình:

\[
5 - n = kn + k
\]
\[
5 = (k + 1)n + k
\]
\[
(k + 1)n = 5 - k
\]
\[
n = \frac{5 - k}{k + 1}
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, kiểm tra với các \( k \):

- \( k = 0 \):

\[
n = \frac{5 - 0}{0 + 1} = 5
\]

- \( k = 1 \):

\[
n = \frac{5 - 1}{1 + 1} = 2
\]

- \( k = 2 \):

\[
n = \frac{5 - 2}{2 + 1} = 1
\]

Vậy các giá trị \( n \) hợp lệ cho điều kiện này là \( n = 5, 2, 1 \).

### c) Điều kiện: \( 3n + 2 \) chia hết cho \( 2n - 1 \)

Ta cần \( 3n + 2 \equiv 0 \mod (2n - 1) \).

Giải tương tự như trước:

\[
3n + 2 = k(2n - 1) \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Phương trình trở thành:

\[
3n + 2 = 2kn - k
\]
\[
(3 - 2k)n = -k - 2
\]

Tìm \( n \) theo \( k \):

\[
n = \frac{-k - 2}{3 - 2k}
\]

Khi thử với các giá trị nguyên cho \( k \):

- \( k = 1 \):

\[
n = \frac{-1 - 2}{3 - 2(1)} = \frac{-3}{1} \quad (không hợp lệ)
\]

- \( k = 2 \):

\[
n = \frac{-2 - 2}{3 - 2(2)} = \frac{-4}{-1} = 4 \quad (hợp lệ)
\]

Các giá trị khác cho \( k \) sẽ dẫn đến giá trị âm hoặc không nguyên.

Vậy \( n = 4 \) là số tự nhiên thỏa mãn.

### d) Điều kiện: \( n^2 + 3 \) chia hết cho \( n - 1 \)

Ta biết rằng nếu \( n^2 + 3 \equiv 0 \mod (n - 1) \), thì:

\[
n^2 + 3 \equiv 0 \Rightarrow (1^2 + 3) \equiv 0 \Rightarrow 4 \equiv 0 \mod (n - 1)
\]

Tức là \( n - 1 \) phải là 1 hoặc 2 hoặc 4. Như vậy:

- \( n - 1 = 1 \Rightarrow n = 2 \)
- \( n - 1 = 2 \Rightarrow n = 3 \)
- \( n - 1 = 4 \Rightarrow n = 5 \)

Kết luận cho từng điều kiện:

- a) Không tìm được \( n \).
- b) \( n = 5, 2, 1 \).
- c) \( n = 4 \).
- d) \( n = 2, 3, 5 \).