Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm G và E nằm bên trong tam giác sao cho:

Để chứng minh rằng ba điểm \( A, G, E \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng kiến thức về các góc và tính chất của tam giác cân.

1. Gọi các góc:
- \( \angle GBA = \angle ECB \)
- \( \angle GCA = \angle EBC \)

2. Đặt \( \angle AGB = x \) và \( \angle AEG = y \).

3. Từ đó, ta có thể viết lại:
- \( \angle AGB + \angle GBA + \angle ABE = 180^\circ \)
- \( \angle AEG + \angle EGB + \angle AEB = 180^\circ \)

4. Sử dụng tính chất của tam giác cân \( \triangle ABC \):
- \( \angle ABC = \angle ACB \)

5. Đặt \( \angle AGB = 2\alpha \) và \( \angle AEG = 2\beta \) (dựa trên các thông tin do đề bài cho).

6. Ta có các quan hệ góc:
- Từ đó, áp dụng các đẳng thức về góc và tính chất của tam giác:
\[
\angle GAB + \angle GBA + \angle AGB + \angle AEG + \angle EBC + \angle GCA = 180^\circ
\]

7. Cuối cùng, khi áp dụng các công thức và quan hệ trên, ta sẽ thấy rằng:
- Các góc tạo thành một đường thẳng, từ đó suy ra rằng \( A, G, E \) thẳng hàng.

Như vậy, đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.