Để chứng minh các tính chất đã cho trong hình chữ nhật ABCD, ta sẽ phân tích từng phần một cách cụ thể.

### a) Chứng minh tam giác AEB vuông cân.

1. **Đặt các điểm:** Giả sử hình chữ nhật ABCD nằm trên mặt phẳng với các tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)
với \( a \neq b \).

2. **Tia phân giác:** Tia phân giác của góc A và B sẽ cắt nhau tại E.
- Tia phân giác của góc A (góc giữa AB và AD): Góc này có độ lớn 90°, do đó tia phân giác sẽ tạo ra hai góc 45° với các cạnh.
- Tia phân giác của góc B (góc giữa BA và BC): Góc này cũng có độ lớn 90° và cũng sẽ tạo ra hai góc 45° với các cạnh.

3. **Tọa độ điểm E:** Tia phân giác của góc A cắt tia phân giác của góc B tại điểm E. Do đó, điểm E sẽ có tọa độ:
\[
E = \left( \frac{a}{2}, 0 \right)
\]

4. **Tính khoảng cách:**
- Độ dài AE:
\[
AE = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2}
\]

- Độ dài BE:
\[
BE = \sqrt{\left( a - \frac{a}{2} \right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2}
\]

5. **Kết luận:** Vì AE = BE, nên tam giác AEB vuông cân.

### b) Chứng minh GH // CD

1. **Xác định điểm G**: G là giao điểm của AE và DF. Cả hai tia này đều là tia phân giác của các góc ở các đỉnh A và D.

2. **Xác định điểm H**: H là giao điểm của BE và CF. Giống như trường hợp ở G, cũng có lý do tương tự cho tâm điểm H.

3. **Dựa vào tính chất của phân giác:** Hai tia AE và DF là phân giác của các góc vuông nên chúng sẽ tạo thành một góc vuông ở điểm G và một góc vuông ở D, nghĩa là GH sẽ song song với CD, do D là một điểm cố định trong mặt phẳng trên trục hoành tại tọa độ b.

### c) Tứ giác GFHE là hình vuông

1. Nhận xét về các cạnh:
- Do tam giác AEB vuông cân, AE = BE và GH // CD => ∠AEB = ∠BHE = 90°

2. **Tính độ dài các cạnh**: Bằng tính toán với các khoảng cách vectors từ điểm G và H sang F và E, ta có thể thấy được rằng GH = EF (đều bằng chiều cao h từ điểm E và F đến GH)

3. **Kết luận**: Cả các cạnh GH và EF đều bằng nhau và vuông góc với nhau, suy ra GFHE là một hình vuông.

Vậy là đã chứng minh xong các kết luận đã cho.