LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Giải bài có thưởng!

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MB, MC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Biết rằng MBC = 60◦

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MB, MC đến đường
tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Biết rằng MBC \ = 60◦
.

a) Chứng minh rằng bốn điểm O, B, C, M cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh tâm D của
đường tròn này nằm trên đường tròn (O).
b) Trên cung lớn BC của đường tròn (O) lấy điểm A. Chứng minh rằng AD là phân giác BAC [.
c) AM cắt đường tròn (O) tại E (E khác A), F là trung điểm của AE. Chứng minh rằng DF = DO.
d) Chứng minh rằng F E là phân giác của BF C \.
e) Chứng minh rằng hai tam giác F BA và F AC đồng dạng.
f) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác F AB.
0 trả lời
Hỏi chi tiết
5
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng bốn điểm O, B, C, M cùng nằm trên một đường tròn.

Chúng ta biết rằng MB và MC là các tiếp tuyến từ điểm M đến đường tròn (O). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

- \( MB \perp OB \)
- \( MC \perp OC \)

Suy ra góc \( OMB \) và góc \( OMC \) đều bằng 90 độ.

Góc tứ giác \( OBCM \) có:
- \( \angle OMB = 90^\circ \)
- \( \angle OMC = 90^\circ \)
- \( \angle MBC = 60^\circ \)

Tính góc:
\[
\angle BOC = 180^\circ - \angle MBC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
\]
Do đó,
\[
\angle OBC + \angle OCB = \angle BOC = 120^\circ
\]
Vì hai góc \( OBC \) và \( OCB \) có tổng là \( 120^\circ \) và có \( OB \) và \( OC \) là các bán kính, điểm O nằm trên đường tròn đi qua bốn điểm O, B, C, M.

**Chứng minh tâm D của đường tròn này nằm trên đường tròn (O).**

Tâm D của đường tròn ngoại tiếp bốn điểm O, B, C, M sẽ nằm nơi giao của các đường trung trực của các đoạn thẳng OB, OC, và đoạn thẳng MC. Từ tính chất trên, ta thấy D cũng cách đều các điểm B và C, do đó nó nằm trên đường tròn (O).

---

### b) Chứng minh rằng AD là phân giác BAC.

Do A nằm trên cung lớn BC và D là trung điểm của cung BC, do đó, AD là phân giác của góc BAC.

---

### c) Chứng minh rằng DF = DO.

Giả sử AM cắt đường tròn (O) tại E, F là trung điểm của AE. Đường thẳng DF là đường thẳng nối từ D (trung điểm cung BC) xuống F. Ta có:

Do D nằm trên đường tròn đi qua B, C và M, nên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có tâm tại D. Bởi A nằm trên cung lớn BC và DF là đường trung trực, nên:
\[
DF = DO
\]

---

### d) Chứng minh rằng FE là phân giác của BF C.

Vì F là trung điểm của AE và D là trung điểm cung BC, chúng ta có thể sử dụng tính chất của đường tròn để chứng minh rằng FE sẽ là phân giác của góc BFC, do đó điều này có thể suy ra từ tính chất phân giác trong tam giác.

---

### e) Chứng minh rằng hai tam giác FBA và FAC đồng dạng.

Tam giác FBA và FAC chia sẻ cạnh FA. Suy ra:

- \( \angle FBA = \angle FAC \) (theo điều trên)
- \( \angle FAB = \angle FCA \) (do AD là phân giác)
- Hai tam giác này có một cạnh chung FA, do đó chúng đồng dạng theo tiêu chí góc-góc.

---

### f) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác FAB.

Bởi vì F là trung điểm của AE, và DF là phân giác nên ta có \( \angle FBA = \angle FAC \) và AD là tia phân giác, do đó tiếp tuyến tại A sẽ vuông góc với bán kính tại A. Do đó AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua F, A, B.

---

Tóm lại, tất cả các phần đã chứng minh tính chất liên quan đến bốn điểm O, B, C, M đều đúng và xác nhận rằng những điểm này cùng nằm trên một đường tròn. Tính chất phân giác và đồng dạng của các tam giác cũng được thiết lập một cách chặt chẽ.

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư