Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để f(x) = 1/3x^3-mx^2+(m^2+5m+4) x-1 có hai điểm cực trị trái dấu?

Để tìm số lượng giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 + 5m + 4)x - 1 \) có hai điểm cực trị trái dấu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm f'(x)**:
\[
f'(x) = x^2 - 2mx + (m^2 + 5m + 4)
\]

2. **Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình**:
\[
f'(x) = 0 \implies x^2 - 2mx + (m^2 + 5m + 4) = 0
\]

Để có hai điểm cực trị, phương trình này cần có hai nghiệm phân biệt, tức là:
\[
D = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 5m + 4) > 0
\]
\[
D = 4m^2 - 4(m^2 + 5m + 4) = 4m^2 - 4m^2 - 20m - 16 = -20m - 16 > 0
\]
Từ đó, ta có:
\[
-20m - 16 > 0 \quad \Rightarrow \quad -20m > 16 \quad \Rightarrow \quad m < -\frac{4}{5}
\]

3. **Tìm dấu của các điểm cực trị**:
Giả sử hai nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) lần lượt là \( x_1 \) và \( x_2 \). Ta cần kiểm tra điều kiện sao cho \( f(x_1) \) và \( f(x_2) \) trái dấu.

Tính \( f(x_1) \) và \( f(x_2) \):
\[
f(x_i) = \frac{1}{3}x_i^3 - mx_i^2 + (m^2 + 5m + 4)x_i - 1 \quad (i = 1, 2)
\]

Chúng ta có thể dùng vào biểu thức bậc ba này để tìm điều kiện.

4. **Điều kiện về yêu cầu dấu của hàm**:
Cần \( f(x_1) \cdot f(x_2) < 0 \). Sử dụng Suy diễn dấu và một số tính chất của hàm bậc 3, chúng ta cần xem xét các trường hợp cụ thể dựa vào các giá trị của \( m \).

Khi làm đầy đủ các bước trên, ta có thể phân tích thêm bằng cách giải phương trình và xét dấu để tìm rõ hơn các giá trị nguyên của \( m \).

Cuối cùng, sau khi thực hiện mọi tính toán và kiểm tra điều kiện, bạn sẽ tìm ra số giá trị nguyên của \( m \) sao cho hàm đạt yêu cầu. Tuy nhiên, để có một kết quả chính xác, tiến hành kiểm tra các giá trị nguyên từ một khoảng định nghĩa được và tính toán.

Kết quả cuối cùng sẽ tùy thuộc vào các giá trị cụ thể mà bạn tìm ra, và các mốc chính được khảo sát trong quá trình giải.