Để chứng minh bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần a), b), c) như sau:

### a) Chứng minh: \(AD = AE\)

1. **Giả thiết**: Ta có \(AB = AC\) (do tam giác ABC là tam giác cân tại A).
2. **Xét hai tam giác**:
- \(\triangle ABD\) và \(\triangle ACE\)
3. **Sử dụng điều kiện cho trước**:
- \(\angle ABD = \angle ACE\) (do điều kiện đề bài).
4. **Tính chất góc**:
- Ta có \(\angle ADB = \angle AEC\) (cùng tạo bởi đường thẳng BD và CE).
5. **Căn cứ vào hai tam giác**:
- Ta có \(AB = AC\)
- Ta có \(\angle ABD = \angle ACE\)
- Ta có \(\angle ADB = \angle AEC\)

Từ đó, theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G), ta suy ra:
\[
\triangle ABD \cong \triangle ACE \Rightarrow AD = AE
\]

### b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Chứng minh: \(\triangle EBI = \triangle DCI\)

1. **Xét hai tam giác**:
- Tam giác \(EBI\) và tam giác \(DCI\)
2. **Sử dụng tính chất**:
- \(AD = AE\) (đã chứng minh ở phần a).
- \(BI = DI\) (cùng nằm trên đường thẳng BD, CE).
- \(\angle EBI = \angle DCI\) (do chúng đều là các góc đối đỉnh).

Vậy theo tiêu chí góc – cạnh – góc (G-C-G):
\[
\triangle EBI \cong \triangle DCI
\]

### c) Chứng minh: \(AI \perp BC\)

1. **Sử dụng định lý về trung tuyến**:
- Điểm \(I\) được chọn sao cho \(AD = AE\), điều này cho thấy \(I\) là hình chiếu vuông góc từ \(A\) xuống \(BC\).
2. **Tính chất vuông góc**:
- Do hai tam giác \(EBI\) và \(DCI\) đã chứng minh có các cạnh tương ứng bằng nhau và có các góc tương ứng bằng nhau, mà \(BI\) và \(DI\) đều là gần nhất từ \(A\) đến \(BC\), nên điểm \(I\) sẽ nằm trên đường thẳng \(BC\).

Kết luận: \(AI \perp BC\).

Như vậy, ta đã hoàn thành tất cả các yêu cầu của bài toán.