Để chứng minh bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần a), b), c) như sau:
### a) Chứng minh:
AD=AE1. **Giả thiết**: Ta có
AB=AC (do tam giác ABC là tam giác cân tại A).
2. **Xét hai tam giác**:
-
△ABD và
△ACE3. **Sử dụng điều kiện cho trước**:
-
∠ABD=∠ACE (do điều kiện đề bài).
4. **Tính chất góc**:
- Ta có
∠ADB=∠AEC (cùng tạo bởi đường thẳng BD và CE).
5. **Căn cứ vào hai tam giác**:
- Ta có
AB=AC- Ta có
∠ABD=∠ACE- Ta có
∠ADB=∠AECTừ đó, theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G), ta suy ra:
△ABD≅△ACE⇒AD=AE
### b) Gọi
I là giao điểm của
BD và
CE. Chứng minh:
△EBI=△DCI1. **Xét hai tam giác**:
- Tam giác
EBI và tam giác
DCI2. **Sử dụng tính chất**:
-
AD=AE (đã chứng minh ở phần a).
-
BI=DI (cùng nằm trên đường thẳng BD, CE).
-
∠EBI=∠DCI (do chúng đều là các góc đối đỉnh).
Vậy theo tiêu chí góc – cạnh – góc (G-C-G):
△EBI≅△DCI
### c) Chứng minh:
AI⊥BC1. **Sử dụng định lý về trung tuyến**:
- Điểm
I được chọn sao cho
AD=AE, điều này cho thấy
I là hình chiếu vuông góc từ
A xuống
BC.
2. **Tính chất vuông góc**:
- Do hai tam giác
EBI và
DCI đã chứng minh có các cạnh tương ứng bằng nhau và có các góc tương ứng bằng nhau, mà
BI và
DI đều là gần nhất từ
A đến
BC, nên điểm
I sẽ nằm trên đường thẳng
BC.
Kết luận:
AI⊥BC.
Như vậy, ta đã hoàn thành tất cả các yêu cầu của bài toán.