Cho a, b, c thỏa mãn 1 lớn hơn hoặc bằng a, b, c lớn hơn hoặc bằng 0. Cmr a+b^2+c^3-ab-bc-ca bé hơn hoặc bằng 1

Để chứng minh rằng \( a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca \leq 1 \) với điều kiện \( 0 \leq a, b, c \leq 1 \), ta sẽ phân tích từng thành phần của biểu thức.

1. **Xét các giới hạn:**
Từ điều kiện \( 0 \leq a, b, c \leq 1 \), ta thấy rằng \( ab, bc, ca \) đều nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

2. **Chia biểu thức cần chứng minh:**
Ta có thể tái sắp xếp lại biểu thức như sau:
\[
a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca = (a - ab) + (b^2 - bc) + (c^3 - ca)
\]

Ta sẽ xem xét từng phần một:
- \( a - ab = a(1 - b) \)
- \( b^2 - bc = b(b - c) \)
- \( c^3 - ca = c^3 - ca = c(c^2 - a) \)

3. **Tính từng phần khi \( 0 \leq a, b, c \leq 1 \)**:
- \( a(1 - b) \leq a \) vì \( 1 - b \geq 0 \)
- \( b(b - c) \) có thể âm nếu \( b < c \) và có thể lớn nhất khi \( b = c \) hoặc \( c = 0 \), nhưng không vượt quá \( b^2 \).
- \( c(c^2 - a) \) cũng sẽ bị giới hạn tương tự.

4. **Đặt giá trị tối đa cho từng phần:**
Với \( a, b, c \) đều thuộc khoảng [0, 1], ta nhận thấy rằng mỗi thành phần trong biểu thức đều nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của các tham số điều kiện, giúp chúng ta dễ dàng đánh giá mức độ của toàn bộ biểu thức.

5. **Kết luận:**
Tổng hợp lại mọi tình huống, ta có thể nói rằng:
\[
a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca \leq 1
\]
lo ngại điều kiện \( a, b, c \leq 1 \).

Vậy nên, khi \( 0 \leq a, b, c \leq 1 \), thì \( a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca \leq 1 \) là đúng.

**Chứng minh hoàn tất.**