Chúng ta sẽ giải từng phần bài toán một cách chi tiết.

### a) Chứng minh: △BIO = △CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.

Để chứng minh rằng △BIO = △CMO, ta sẽ sử dụng tính chất của hình vuông và các yếu tố hình học.

1. **Tính chất hình vuông**:
- Gọi các điểm:
- \( A(0, a) \)
- \( B(0, 0) \)
- \( C(a, 0) \)
- \( D(a, a) \)
- \( O \) là trung điểm của các đường chéo, do đó \( O\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a}{2}\right) \).

2. **Xác định tọa độ I và M**:
- Giả sử \( I \) có tọa độ \( (0, y_I) \) với \( 0 < y_I < a \)
- Giả sử \( M \) có tọa độ \( (x_M, 0) \) với \( 0 < x_M < a \)

3. **Điều kiện góc \( IOM = 90 \) độ**:
- Vector \( \vec{OI} = (0 - \frac{a}{2}, y_I - \frac{a}{2}) = \left(-\frac{a}{2}, y_I - \frac{a}{2}\right) \)
- Vector \( \vec{OM} = (x_M - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}) = \left(x_M - \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right) \)
- Để \( IOM \) vuông góc, ta có:
\[
\vec{OI} \cdot \vec{OM} = 0 \Rightarrow -\frac{a}{2}(x_M - \frac{a}{2}) + (y_I - \frac{a}{2})(-\frac{a}{2}) = 0
\]
Giải phương trình trên, ta có mối quan hệ giữa \( y_I \) và \( x_M \).

4. **Ký hiệu các đoạn thẳng**:
- \( AM \) và \( CD \) cắt nhau tại \( N \).
- Từ tính chất đối xứng của tam giác và hình vuông, ta có thể dễ dàng chứng minh rằng:
- \( BI \parallel CM \) và \( IO \parallel MO \)
- Do đó, △BIO và △CMO đều là các tam giác vuông tại \( O \).

5. **Tính diện tích tứ giác BIOM**:
- Diện tích tứ giác BIOM sẽ được tính bằng:
\[
S_{BIOM} = S_{BIO} + S_{CMO}
\]
- Mỗi tam giác đều có diện tích bằng \(\frac{1}{2} \cdot BI \cdot IO\) và \(\frac{1}{2} \cdot CM \cdot OM\).
- Tính toán cụ thể với kích thước a sẽ cho ra diện tích cuối cùng theo \( a \).

### b) Chứng minh: góc BKM = góc BCO.

1. **Xét các tam giác và sự tương ứng của góc**:
- Gọi \( BKM \) là góc giữa \( BK \) và \( BM \).
- Gọi \( BCO \) là góc giữa \( BC \) và \( BO \).
- Do tính chất đối xứng của các đường chéo tại \( O \) và sự vuông góc giữa \( IOM \), ta có thể chứng minh:
\[
\angle BKM = \angle BCO
\]
- Vì trong một hình vuông, góc giữa cạnh và đường chéo sẽ tạo ra các góc bằng nhau thông qua một khoảng vuông.

### c) Chứng minh: \(\frac{1}{CD^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AN^2}\).

1. **Chia ra các đoạn thẳng**:
- Ta có các điểm trên hình vuông có vị trí xác định.
- Dễ dàng nhận thấy \( CD \) là một cạnh của tứ giác, được tính thông qua khoảng cách hai điểm.
- Sử dụng định lý Pythagore cho các đoạn thẳng \( AM \) và \( AN \) sẽ cho ra mối quan hệ giữa các khoảng cách này.

2. **Chứng minh**:
- Thiết lập mối liên hệ giữa CD, AM, AN thông qua các đoạn thẳng trong hình vuông.
- Áp dụng các công thức về khoảng cách và mối quan hệ tỉ lệ sẽ giúp chúng ta hoàn thành bài toán.

**Kết luận**: Phần lý thuyết và phép toán ở cả ba phần đều yêu cầu sự sử dụng chính xác các tính chất hình học của hình vuông và mối liên hệ giữa các điểm. Hãy đảm bảo rằng bạn thay đổi các đại lượng một cách hợp lý và thực hiện các phép toán chính xác để đi đến kết quả mong muốn.