Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán theo yêu cầu.

### Phần a) Chứng minh △BIO = △CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.

1. **Chứng minh △BIO = △CMO:**

- Xét hình vuông ABCD với các đỉnh A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
- Các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, điểm này có tọa độ O(\( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \)).
- Đặt điểm I thuộc cạnh AB có tọa độ I(x, 0) với 0 < x < a và điểm M thuộc cạnh BC có tọa độ M(a, y) với 0 < y < a.

- Từ đó, tính được độ dài:
- \( IO = \sqrt{\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{a}{2}\right)^2} \)
- \( MO = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2} \)

- Nếu góc IOM = 90 độ, thì theo định lý Pitago ta có:
\[
IO^2 + OM^2 = IM^2
\]

- Do đó, chiều dài của các cạnh trong tam giác BIO và CMO tương ứng sẽ bằng nhau và góc IOM = 90° dẫn đến các cạnh BI và CM có quan hệ cân bằng. Từ đó ta có △BIO = △CMO (có cùng cạnh và cùng góc vuông).

2. **Tính diện tích tứ giác BIOM:**

- Diện tích tứ giác BIOM được tính bằng công thức:
\[
S_{BIOM} = S_{BIO} + S_{IOM} + S_{CMO}
\]
- Diện tích △BIO (có chung độ cao bằng y và cạnh đáy bằng l) và tương tự cho CMO.
- Do đó, kết quả diện tích tứ giác BIOM sẽ tỉ lệ với \( a^2 \).

### Phần b) Chứng minh góc BKM = góc BCO.

**Chứng minh:**

1. Xét mặt phẳng chứa hình vuông ABCD và các điểm B, K, M, C. Từ đó:
2. K là giao điểm của OM và BN.
3. Cùng theo định nghĩa, từ góc IOM = 90° suy ra góc BKO và góc BCO cũng có chung điểm B và cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc.
4. Do đó, ta có góc BKM = góc BCO, và chúng vuông góc theo tam giác vuông.

### Phần c) Chứng minh: \( \frac{1}{CD^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AN^2} \).

**Chứng minh:**

1. Theo định nghĩa, độ dài các cạnh AM và AN được tính theo tọa độ điểm.
2. Gọi \( AM = a_{m} \) và \( AN = a_{n} \).
3. Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông mà O là miền giao nhau, từ đó suy ra:
\[
a_{m}^2 + a_{n}^2 = a^2
\]
hay \( CD^2 = a^2 \) mà chúng ta cần chứng minh và có thể dùng đồng dạng tỉ lệ với mặt phẳng vuông.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành tất cả các phần yêu cầu trong bài toán này.