Để tìm số tự nhiên \( x \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ phân tích từng trường hợp:

### a) \( x \equiv 10 \mod 10 \); \( x \equiv 15 \mod 15 \); và \( x < 100 \)

1. **Điều kiện đầu tiên**: \( x \equiv 10 \mod 10 \) có nghĩa là \( x \) là bội số của 10, tức là \( x = 10k \) với \( k \) là số nguyên.

2. **Điều kiện thứ hai**: \( x \equiv 15 \mod 15 \) có nghĩa là \( x \) cũng là bội số của 15, tức là \( x = 15m \) với \( m \) là số nguyên.

Vì vậy, ta cần tìm \( x \) là bội số chung của 10 và 15:

- Bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 10 và 15 là 30.
- Các bội số của 30 nhỏ hơn 100 là: 30, 60, 90.

**Các giá trị của \( x \):** \( 30, 60, 90 \).

### b) \( x \equiv 14 \mod 14 \); \( x \equiv 15 \mod 15 \); \( x \equiv 20 \mod 20 \); và \( 400 < x \leq 1200 \)

1. **Điều kiện đầu tiên**: \( x \equiv 14 \mod 14 \) có nghĩa là \( x \) là bội số của 14, tức là \( x = 14k \).

2. **Điều kiện thứ hai**: \( x \equiv 15 \mod 15 \) có nghĩa là \( x \) là bội số của 15, tức là \( x = 15m \).

3. **Điều kiện thứ ba**: \( x \equiv 20 \mod 20 \) có nghĩa là \( x \) là bội số của 20, tức là \( x = 20n \).

Tìm bội số chung của 14, 15 và 20:

- BCNN của 14, 15 và 20 là 420.

**Phạm vi:** \( 400 < x \leq 1200 \).

- Các bội số của 420 trong khoảng này là 420, 840.

**Các giá trị của \( x \):** \( 420, 840 \).

### Kết quả:
- a) \( x = 30, 60, 90 \).
- b) \( x = 420, 840 \).