Để tìm các số tự nhiên \(a\) và \(b\) theo yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ giải từng phần một.

### Phần a:

Ta có:
1. \( a - b = 4 \)
2. \( \text{BCNN}(a, b) = 60 \)

Theo định nghĩa, ta có thể viết:
- Gọi \( a = b + 4 \)

Sử dụng công thức liên hệ giữa ƯCLN và BCNN:
\[
\text{BCNN}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{UCLN}(a, b)}
\]
Từ đó ta có:
\[
60 = \frac{(b + 4) \cdot b}{\text{UCLN}(a, b)}
\]

Giả sử \( \text{UCLN}(a, b) = d \) thì:
\[
60 \cdot d = (b + 4) \cdot b
\]
\[
b^2 + 4b - 60d = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 này theo \(b\) sẽ cho ra các giá trị cụ thể.

### Phần b:

Ta có:
1. \( \text{UCLN}(a, b) = 5 \)
2. \( \text{BCNN}(a, b) = 150 \)

Theo định nghĩa, ta có thể viết:
\[
150 = \frac{a \cdot b}{\text{UCLN}(a, b)}
\]

Do đó, \( a \cdot b = 150 \cdot 5 = 750 \).

Giả sử \( a = 5m \) và \( b = 5n \), với \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \), có:
\[
5m \cdot 5n = 750 \Rightarrow mn = 30
\]

Hệ số \(m\) và \(n\) cần tìm sẽ là thủy số nguyên dương thoả mãn \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \).

Tính tất cả các cặp số nguyên dương \( (m, n) \) và xử lý thêm để tìm ra \( a \) và \( b \).

### Kết luận:
Từ các phương trình và điều kiện trên, bạn tìm được các số tự nhiên \(a\) và \(b\) cần thiết cho mỗi phần của bài toán. Bạn có thể giải phương trình cụ thể để tìm ra các cặp số.