Để tính nhanh các biểu thức đã cho, ta thực hiện từng bước một.

### 1. Tính nhanh:
**a)** \( A = \frac{2023^3 + 1}{2023^2 - 2022} \)

Ta có thể viết lại biểu thức bằng cách tính từng phần. Đầu tiên, tính mẫu số:

\[
2023^2 - 2022 = 2023^2 - 2023 + 1 = 2023(2023 - 1) + 1 = 2023 \cdot 2022 + 1
\]

Tiếp theo, tính tử số:

\[
2023^3 + 1 = (2023 + 1)(2023^2 - 2023 + 1) = 2024(2023^2 - 2023 + 1)
\]

Vậy \( A \) có thể viết lại là:

\[
A = \frac{2024(2023^2 - 2023 + 1)}{2023(2022 + 1)} = \frac{2024 \cdot (2023^2 - 2023 + 1)}{2023 \cdot 2023}
\]

Ta thấy rằng biểu thức khá phức tạp, nhưng hướng giải quyết khác là chọn những giá trị cụ thể cho \( x = 2023 \):

\[
A = \frac{x^3 + 1}{x^2 - (x - 1)} = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} = \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{x^2 + 1}
\]

Với xét cho \( x = 2023 \), ta khá khó giải tiếp. Một cách khác mình có thể tính theo cách đơn giản hơn:

Tính thử giá trị cụ thể với \( x = 2023 \):

\[
A \approx \frac{2023^3 + 1}{2023^2 - 2022} \approx 2024
\]

**b)** \( B = 2023 - \frac{1}{2023^2} + 2024 \)

Tính từng phần:

\[
B = 2023 + 2024 - \frac{1}{2023^2} = 4047 - \frac{1}{2023^2} \approx 4047
\]

### 2. Tính nhanh:
**a)** \( \frac{23^3 + 27^3}{50 - 23 \cdot 27} \)

Ta có:

\[
23^3 + 27^3 = (23 + 27)(23^2 - 23 \cdot 27 + 27^2) = 50(23^2 - 23 \cdot 27 + 27^2)
\]

Và tính giá trị của \( 50 - 23 \cdot 27 = 50 - 621 = -571 \).

Như vậy,

\[
\frac{23^3 + 27^3}{50 - 23 \cdot 27} = \frac{50(23^2 - 23\cdot27 + 27^2)}{-571}.
\]

Cuối cùng, cần tính \( 23^2 + 27^2 = 529 + 729 = 1258 \), và:

\[
23^2 - 23 \cdot 27 + 27^2 = 1258 - 621 = 637
\]

Vậy:

\[
\frac{50 \cdot 637}{-571}
\]

Tiến hành tính tổng lại:

Khi thực hiện phép chia này, cần có giá trị giảm.

Cuối cùng với 637/571, אך kết quả khó có thể chính xác hơn mà không có máy tính

### Tổng hợp kết quả:
- \( A \approx 2024 \)
- \( B \approx 4047 \)
- Phép tính \( \frac{23^3 + 27^3}{50 - 23 \cdot 27} \) vẫn cần cụ thể thêm để có giá trị cuối.