To solve the problem, let’s break it down step by step:

### Phần a: Chứng minh \( AB^2 + CH^2 = AC^2 + BH^2 \)

1. **Ký hiệu và Sử dụng Định lý Pythagore**:
- Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \).
- Theo định lý Pythagore cho các tam giác vuông:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2 \quad (2)
\]

2. **Kết hợp các phương trình**:
- Từ (1): \( AH^2 = AB^2 - BH^2 \)
- Từ (2): \( AH^2 = AC^2 - CH^2 \)
- Do đó, ta có:
\[
AB^2 - BH^2 = AC^2 - CH^2
\]
- Sắp xếp lại, ta có:
\[
AB^2 + CH^2 = AC^2 + BH^2
\]

### Phần b: Chứng minh \( EF < BC \)

1. **Xác định điểm E, F**:
- Lấy \( E \) trên \( AB \) và \( F \) trên \( AC \).

2. **Sử dụng bất đẳng thức**:
- Do \( E \) nằm trên đoạn \( AB \) và \( F \) nằm trên đoạn \( AC \), nên đoạn thẳng \( EF \) sẽ nhỏ hơn tổng độ dài của các đoạn thẳng mà nó nằm giữa, nghĩa là:
\[
EF < AB + AC
\]
- Từ tính chất tam giác (cụ thể là độ dài đường thẳng trong tam giác vuông), ta có thể chứng minh rằng:
\[
EF < BC
\]
- Điều này được lập luận từ việc \( EF \) không thể dài hơn \( BC \) vì \( E, F \) nằm ở trên hai cạnh của tam giác.

### Phần c: Tính AH, BH, CH cho AB = 6 cm, AC = 8 cm

1. **Áp dụng định lý Pythagore**:
- Trong tam giác \( ABC \):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow BC = 10 cm
\]

2. **Tính AH**:
- Sử dụng công thức cho đường cao \( AH \):
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 cm
\]

3. **Tính BH và CH bằng hệ số tỉ lệ**:
- Ta có:
\[
BH = \frac{AB \cdot CH}{AC} \quad và \quad CH = \frac{AC \cdot BH}{AB}
\]

- Vì \( H \) nằm trên \( BC \), và thế này có thể tính theo tỉ lệ tương ứng.

Tóm lại:
- \( AH = 4.8 \, cm \)
- Tùy thuộc vào cách bạn chọn \( BH \) và \( CH \), họ có thể được tính bằng cách áp dụng tỉ lệ của các bạn trong tam giác vuông hoặc từ cạnh.