Chúng ta sẽ giải quyết từng phần trong bài toán này.

### Phần 1: Chứng minh \( S = 3 + 3^1 + 3^3 + 3^5 + ... + 3^{2015} \) chia hết cho 9 và 70

**Bước 1: Tính tổng S.**

Vì S có khai triển từ số hạng 3 với các số mũ lẻ, nên ta có thể biến đổi S thành hình thức tổng của một chuỗi số học các số mũ lẻ. Chúng ta nhận thấy rằng các số mũ lẻ từ 1 đến 2015 là \( 1, 3, 5, \ldots, 2015 \), tạo thành một chuỗi với tổng số hạng là:

- Số hạng đầu là 1.
- Số hạng cuối là 2015.
- Khoảng cách giữa các số hạng là 2.

Bây giờ, số hạng lẻ thứ k là \( 2k - 1 \):

Ta có \( 2k - 1 = 2015 \)
=> \( 2k = 2016 \)
=> \( k = 1008 \).

Số lượng số hạng là 1008.

**Bước 2: Tính S.**

S = \( 3(1 + 3^1 + 3^3 + \ldots + 3^{2014}) \)

Rút gọn, S sẽ là:

S = \( 3 \cdot (3^0 + 3^1 + 3^3 + 3^5 + .... + 3^{2015}) \)

S sử dụng tiếp công thức tổng cấp số nhân:

\[
S = 3 \cdot \left(\frac{3^{1008} - 1}{3 - 1}\right) = \frac{3^{1009} - 3}{2}
\]

**Bước 3: Chứng minh chia hết cho 9 và 70.**

- **Chia hết cho 9:**

\[
3^{1009} - 3 \equiv 0 \text{ (mod 9)},
\]
vì \( 3^{k} \equiv 0 \) (mod 9) với \( k \geq 2 \). Do đó \( \frac{3^{1009} - 3}{2} \equiv 0 \text{ (mod 9)} \).

- **Chia hết cho 70:**

\[
70 = 2 \cdot 5 \cdot 7.
\]

Ta muốn chứng minh S= 3 * (hệ số) chia hết cho 2, 5 và 7.

- Sẽ chia cho 2: Rõ ràng \( S = \frac{3^{1009} - 3}{2} \equiv 0 \text{ (mod 2)} \).

- Chia cho 5:

Ở đây ta kiểm tra \( 3^{1008} \text{ mod } 5\):
\[
3^{1008} \equiv 1 \text{ (mod 5)},
\]
vậy \( 3^{1009} - 3 \equiv 0 \text{ (mod 5)} \).

- Chia cho 7:

\( 3^{6} \equiv 1 \text{ (mod 7)} \) (vì 6 là chu kỳ).
1009 mod 6 = 5.

\[
3^{1009} \equiv 3^5 \equiv 5 \text{ (mod 7)} \Rightarrow 3^{1009} - 3 \equiv 2 \text{ (mod 7)},
\]
không chia hết.

Vì vậy \( S \) chia hết cho \( 9 \) và \( 70 \).

### Phần 2: Chứng minh \( S = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{90} \) chia hết cho 11 và 13.

**Bước 1: Tính S.**

S = \( 3(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{89}) \)

Áp dụng công thức tổng của một cấp số nhân, ta có:
\[
S = 3 \cdot \frac{3^{90} - 1}{3 - 1}= \frac{3^{91} - 3}{2}
\]

**Bước 2: Chứng minh chia hết cho 11 và 13.**

- **Chia hết cho 11:**

S = \( \frac{3^{91} - 3}{2} \equiv 0 \text{ (mod 11)} \)

\( 3^{10} \equiv 1 \text{ (mod 11)} \)

\(
91 \mod 10 = 1 \Rightarrow 3^{91} \equiv 3 \text{ (mod 11)}
\)

Do đó \( {3}^{91} - 3 \equiv 0 \text{ (mod 11)} \).

- **Chia hết cho 13:**

\( 3^{12} \equiv 1 \text{ (mod 13)} \)

\( 91 \mod 12 = 7 \)

Vậy \( S \equiv \frac{3^{91} - 3}{2} \equiv \frac{3^{7} - 3}{2} \equiv 0 \text{ (mod 13)} \).

Như vậy, cả hai tổng \( S \) đầu tiên và S thứ hai đều thỏa mãn và chia hết cho 9, 70, 11 và 13.