Để tìm \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = (m - 2)x + m^2 - 2m - 1 \) cắt đồ thị \( y = 2x - 1 \) tại điểm có hoành độ \( x = 1 \), bạn thực hiện các bước sau:

1. **Thay \( x = 1 \) vào phương trình của hai hàm số**:

- Từ hàm số \( y = 2x - 1 \):
\[
y = 2(1) - 1 = 1
\]

- Từ hàm số \( y = (m - 2)x + m^2 - 2m - 1 \):
\[
y = (m - 2)(1) + m^2 - 2m - 1 = m - 2 + m^2 - 2m - 1 = m^2 - m - 3
\]

2. **Đặt phương trình hai hàm số bằng nhau**:
\[
m^2 - m - 3 = 1
\]

3. **Giải phương trình**:
\[
m^2 - m - 4 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}
\]

Vậy \( m \) có hai giá trị:
\[
m_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \quad m_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}
\]

Như vậy, bạn đã tìm được \( m \) sao cho đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.