Để rút gọn biểu thức \( A \), trước tiên ta sẽ xử lý từng phần một của biểu thức:

### Bước 1: Rút gọn biểu thức A

Biểu thức \( A \) là:
\[
A = \frac{1 - \frac{x-2}{x+3}}{\frac{x+2}{x+3} + \frac{x+3}{2-x} + \frac{11x+8}{x^2+x-6}}
\]

#### Rút gọn ở tử:

Tử của biểu thức là:
\[
1 - \frac{x-2}{x+3} = \frac{(x+3) - (x-2)}{x+3} = \frac{5}{x+3}
\]

#### Rút gọn ở mẫu:

Mẫu của biểu thức là:
\[
\frac{x+2}{x+3} + \frac{x+3}{2-x} + \frac{11x+8}{x^2+x-6}
\]

Ta cần tìm mẫu chung để cộng các phân số trên.

- Đầu tiên, ta rút gọn phân số \( \frac{11x+8}{x^2+x-6} \):
Chú ý rằng \( x^2+x-6 = (x-2)(x+3) \).

Do đó:
\[
\frac{11x+8}{(x-2)(x+3)}
\]

#### Tính Mẫu Chung

Mẫu chung sẽ là \( (x+3)(2-x) \) (trong đó \( 2-x = -(x-2) \)) và \( (x-2)(x+3) \).

Ta sẽ quy đồng và cộng các phân số lại với nhau.

1. \( \frac{x+2}{x+3} \) ở mẫu chung là \( \frac{(x+2)(2-x)}{(x+3)(2-x)} \)
2. \( \frac{x+3}{2-x} \) ở mẫu chung là \( \frac{(x+3)(x+3)}{(2-x)(x+3)} = \frac{(x+3)^2}{(2-x)(x+3)} \)
3. \( \frac{11x+8}{(x-2)(x+3)} \) là như cũ.

Cộng các phân số:

\( A = \frac{\frac{5}{x+3}}{\text{Mẫu tóm tắt}} \)

### Bước 2: Tìm A từ điều kiện |2x-5|=1

Giải phương trình \( |2x-5|=1 \):
1. \( 2x - 5 = 1 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \)
2. \( 2x - 5 = -1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \)

Vậy \( x = 3 \) và \( x = 2 \).

### Bước 3: Tìm \( x \) nguyên để A nguyên

Để \( A \) là một số nguyên, ta cần xét các giá trị của \( x \) có thể nảy sinh điều kiện để mẫu không bị bằng 0 và đảm bảo cho A nguyên.

Kiểm tra:

1. Với \( x=2 \):
- Tính giá trị của A.
2. Với \( x=3 \):
- Tính giá trị của A.

Kiểm tra điều kiện các giá trị khác nữa để có giá trị nguyên cho A.

Tổng hợp trên, bạn cần tình toán cụ thể cho từng điều kiện 1 sau khi rút gọn để có giá trị cho A và từ đó tìm các giá trị của \( x \) thêm nữa.